河南省2016届高三数学高考押题卷2(理科附答案)

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河南省2016届高三数学高考押题卷2(理科附答案)

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莲山 课件 w w
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数学(理)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.已知i是虚数单位,若复数-3i(a+i)(a∈R)的实部与虚部相等,则a=( )
A.-1            B.-2          C.1        D.2
2.已知集合 ,若 ,则a=( )
A.-1            B.2            C.-1或2         D.-1或-2
3.已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 ( )
A.0.2           B.0.4            C.0.5        D.0.6
4.已知平面向量 与 的夹角为 ,且 ,则 ( )
A.1            B.              C.2            D.3
5.执行如图所示的程序框图,若输入的n的值为5,则输出的S的值为( )
 
A.17              B.36            C.52           D.72
6.将函数 (其中 )的图象向右平移 个单位长度,所得的图象经过点 ,则 的最小值是( )
A.           B.1         C.            D.2
7.已知数列 满足 .若数列 的最大项和最小项分别为M和m,则M+m=( )
A.               B.         C.         D.
8.若x,y满足约束条件 则当 取最大值时,x+y的值为( )
A.-1                B.1              C.         D.
9.已知在平面直角坐标系xOy中,点 .命题P:若存在点P在圆 上,使得 ,则 ;命题q:函数 在区间(3,4)内没有零点.下列命题为真命题的是( )
A.        B.           C.         D.
10.一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M是边AB上的动点,记四面体E-FMC的体积为 ,多面体ADF-BCE的体积为 ,则 ( )
 
A.        B.       C.         D.不是定值,随点M的变化而变化
11.已知双曲线和离心率为 的椭圆有相同的焦点 ,P是两曲线的一个公共点,若 ,则双曲线的离心率等于( )
A.2          B.         C.        D.
12.已知定义域为R的偶函数f(x)满足对任意的x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当 时, ,若函数 在 上至少有三个零点,则实数a的取值范围是( )
A.       B.        C.        D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.某高中共有学生1000名,其中高一年级共有学生380人,高二年级男生有180人.如果在全校学生中抽取1名学生,抽到高二年级女生的概率为0.19,现采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人,则应在高三年级中抽取的人数等于_____.
14.设某双曲线与椭圆 有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交点的坐标为 ,则此双曲线的标准方程是______.
15.在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=bcosC+csinB,则角B为________.
16.定义在R上的函数 满足: ,则不等式 (其中e为自然对数的底数)的解集为______.
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知等差数列 满足: ,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,且 .
(1)求数列 , 的通项公式;
(2)求数列 的前n项和 .
18.(本小题满分12分)
在一次突击检查中,某质检部门对某超市A、B、C、D共4个品牌的食用油进行了检测,其中A品牌抽取了2个不同的批次.
(1)若从这4个品牌共5个批次中任选3个批次进行某项检测,求抽取的3个批次中至少有1个是A品牌的概率;
(2)若对这4个品牌共5个批次的食用油进行综合检测,其检测结果如下(综合评估满分为10分):
 
若检测的这5个批次的食用油得分的平均值为a,从这5个批次中随机抽取2个,设这2个批次的食用油中得分超过a的个数为 ,求 的分布列及数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱 中, ,M是棱 的中点,N是对角线 的中点.
(1)求证:CN⊥平面BNM;
(2)求二面角 的余弦值.
 
20.(本小题满分12分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,过点 作垂直于x轴的直线 ,直线 垂直 于点P,线段 的垂直平分线交 于点M.
(1)求点M的轨迹 的方程;
(2)过点 作两条互相垂直的直线AC、BD,且分别交椭圆于A、C、B、D,求四边形ABCD面积的最小值.
21.(本小题满分12分)
已知函数 ,设 ,其中 .
(1)若f(x)在区间 上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)记 ,求证: .
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,直线PA与圆O相切于点A,PBC是过点O的割线, APE= CPE,点H是线段ED的中点.
(1)证明:A、E、F、D四点共圆;
(2)证明: .
   
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程为 ,过点P(1,0)的直线 交曲线C于A,B两点.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程;
(2)求 的最值.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数 , .
(1)解不等式f(x)>g(x);
(2)对任意的实数x,不等式 恒成立,求实数m的最小值.

 

 

 

2016届高三模拟考试
数学试卷参考答案(理科)
 
3.D    ∵随机变量 服从正态分布 ,∴正态曲线的对称轴为 ,
∴ ,又 ,∴ ,
根据对称性得 ,∴ 0.6.
4.C    由题意知 ,∴ ,解得 2或-4(舍去).
5.D    根据程序框图可知k=1,S=0,进入循环体后,循环次数、S的值、k的值的变化情况为
 
所以输出的S的值为72.
6.D    将函数 (其中 )的图象向右平移 个单位长度,得到的图象的函数解析式为 ,因为该函数图象经过点 ,所以 ,
所以 ,即 ,因为 ,所以 的最小值为2.
7.D    由 则 ,因为 ,所以n=5,最大项为 .
当 时, ,又 ,且 ,所以最小项 ,故M+m= .
8.D   作出可行域如图中阴影部分所示, 的几何意义是过定点M(-3,-1)与可行域内的点(x,y)的直线的卸料车,由图可知,当直线过点 时,斜率取得最大值,此时x,y的值分别为0, ,所以x+y= 。
 
9.A   命题P:因为 ,则以AB为直径的圆必与圆 有公共点,
所以 ,解得 ,命题p为真命题;
命题q:因为 ,且f(x)在上是连续不断的曲线,
所以f(x)在(3,4)内有零点,命题q为假命题,故选A.
10.B    由直观图和三视图可知,多面体ADF-BCE是以等腰直角三角形ADF为底面的直三棱柱,
不妨设AD=DF=a=2,高DC=2,体积 ;AB∥平面EFC,所以点M到平面EFC的距离就是点B到平面EFC的距离,又BC⊥平面EFC,且BC=2,所以四面体E-FMC的体积
 ,故  .
11.C   设椭圆的长半轴长为 ,双曲线的实半轴长为 ,焦距为2c, ,且不妨设m>n,由m+n=2 ,m-n=2 得m= + ,n= - ,又 ,∴ ,
∴ ,设双曲线的离心率为e,则 ,解得e= .
12.B   ∵f(x+2)=f(x)-f(1),且f(x)是定义域为R的偶函数,令x=-1可得f(-1+2)=f(-1)-f(1),又f(-1)=f(1),
可得f(1)=0,则有f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为2的偶函数.当 时, ,函数f(x)的图象为开口向下、顶点为(3,0)的抛物线.
∵函数 在 上至少有三个零点,令 ,则f(x)的图象和g(x)的图象在 上至少有三个交点,作出函数的图象,如图所示.
 
∵ ,可得0<a<1.
要使函数 在 上至少有三个零点,则有g(2)>f(2),即 ,
∴ ,解得 ,又0<a<1,∴ .
13.25   因为高中共有学生1000名,在全校学生中抽取1名学生,抽到高二年级女生的概率为0.19,所以高二年级女生有1000×0.19=190人,则高二年级共有学生180+190=370人,所以高三年级有1000-370-380=250人,则采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人,应在高三年级中抽取的人数为 .
14.        易知椭圆 的焦点坐标是 .设双曲线的方程为 ,则 ①,因为双曲线过点 ,所以 ②,联立①②,解得 ,故所求双曲线的标准方程为 .
15.      因为a=bcosC+csinB,由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCcosB①,
在△ABC中,A=π-(B+C)②,由①和②得sinBsinC=cosBsinC,而C∈(0,π),所以sinC≠0,
所以sinB=cosB,又B∈(0,π),所以B= .
16.   设 ,则 ,
∵ ,∴g(x)在R上单调递增,
∵ ,∴g(x)>3,又 .
17.解:(1)设d为等差数列 的公差,且d>0,由 ,分别加上1,1,3后成等比数列,所以 ,
因为d>0,所以d=2,所以 ,
又 ,所以 ,即 .
(2)由(1)知 ,所以 ①
 ②
①-②,得
 .
所以 .
18.解:(1)记“抽取的3个批次中至少有1个是A品牌”为事件A,
从这5个批次中任选3个批次的不同选法共有 种,
其中3个批次中没有A品牌的情况有 种,故所求概率 .
(2)由表中数据可得 ,
在这5个批次的食用油中得分超过a的有2个,所以 的所有可能取值为0,1,2,
 ,
故 的分布列为
 
 .
19.解:(1)因为AC=1, ,所以 ,即AC⊥BC.
又 ,所以AC⊥平面 ,
连接 ,则B、 、N三点共线,则 ,
所以 是等腰三角形,又N是 的中点,所以 .
连接 ,则 ,所以 是等腰三角形,
所以 .因为 ,
由勾股定理得 ,即 .
在△MCN和 中, ,
所以 ,因为 ,所以 ,即CN⊥MN,
又BN∩NM=N,所以依据线面垂直的判定定理得CN⊥平面BNM.
(2)依题意CB⊥平面 ,连接 交 于点H,因为侧面 是正方形,
所以 ,所以AH⊥平面 ,即 .
取线段 的中点Q,连接HQ、AQ,则HQ是 的中位线,HQ∥CN,
由(1)知 ,所以 ,所以 平面AHQ,
则∠AQH是二面角 的平面角.
因为CN=1,所以 ,在 中, ,
所以 为直角三角形,则 ,
所以 ,又二面角 的平面角是∠AQH的补角,
所以二面角 的余弦值是 .
20.解:(1)∵ ,∴点M到定直线 :x=-2的距离等于它到定点 的距离,
∴点M的轨迹 是以 为准线, 为焦点的抛物线.
∴点M的轨迹 的方程为 .
(2)当直线AC的斜率存在且不为零时,设直线AC的斜率为k,
 ,则直线BD的斜率为 ,直线AC的方程为y=k(x-2).
联立 ,得 ,
∴ ,
 .
由于直线BD的斜率为 ,用 代换上式中的k可得
 ,∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD的面积 .
由于 ,
∴ ,当且仅当 ,即 时取等号.
易知,当直线AC的斜率不存在或斜率为零时,四边形ABCD的面积S=8.
综上,四边形ABCD面积的最小值为 .
21.解:(1)函数 , ,
函数 ,所以 ,
因为f(x)在区间 上单调递增,所以 在区间 上恒成立,
所以 在 上恒成立.
令 ,则 ,
当 时, ,所以 ,
所以实数a的取值范围为 .
(2) ,
令 ,
则 .
令Q(x)=x-lnx,则 ,
显然 在区间(0,1)上单调递减,在区间 上单调递增,则 ,
则 ,故 .
22.证明:(1)∵PA是切线,AB是弦,∴ BAP= C,
又 APD= CPE,∴ BAP+ APD= C+ CPE,∵ ADE= BAP+ APD,
 AED= C+ CPE,∴ ADE= AED,即三角形ADE是等腰三角形.
又点H是线段ED的中点,∴AH是线段ED的垂直平分线,即AH⊥ED,
又由 APE= CPE,可知PH是线段AF的垂直平分线,
∴AF与ED互相垂直且平分,由于PBC是过点O的割线,∴四边形AEFD是正方形,
则A、E、F、D四点共圆.
(2)由切割线定理得, ,由(1)知PH是线段AF的垂直平分线,
∴PA=PF,从而 .
23.解:(1)曲线C的参数方程为 ,
消去参数 得曲线C的普通方程为 .
(2)由题意知,直线 的参数方程为 ,
将 代入 得 .
设A,B对应的参数分别为 ,则 .
所以 的最大值为1,最小值为 .
24.解:(1)由题意不等式f(x)>g(x)可化为 ,
当x<-1时,-(x-2)+x>-(x+1),解得x>-3,即-3<x<-1;
当 时,-(x-2)+x>x+1,解得x<1,即 ;
当x>2时,x-2+x>x+1,解得x>3,即x>3.
综上所述,不等式f(x)>g(x)的解集为 .
(2)由不等式 ,可得 ,
分离参数m,得 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
故实数m的最小值是3.

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