大连20中2016届高三数学上学期期中试题(文科附解析)

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大连20中2016届高三数学上学期期中试题(文科附解析)

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山课件 w ww.5 Y K j.Co M

2015-2016学年辽宁省大连二十中高三(上)期中数学试卷(文科)
 
一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U=R,集合 ,则∁UA等于(  )
A.[1,2] B.[1,2) C.(1,2] D.(1,2)
2.已知复数 ,则z的共轭复数 等于(  )
A.  B.  C.1+i D.1﹣i
3.已知 ,则 等于(  )
A.7 B.  C.3 D.
4.2015是等差数列3,7,11…的第项(  )
A.502 B.503 C.504 D.505
5.函数y=lg(x2﹣2x)的单调增区间为(  )
A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,1) D.(﹣∞,2)
6.已知函数f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=cosx,则 =(  )
A.  B.  C.  D.
7.若等比数列前n项和为 ,则c等于(  )
A.2 B.﹣2 C.1 D.0
8.命题p:∀a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6相交.则¬p及¬p的真假为(  )
A.¬p:∀a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,¬p为真
B.¬p:∀a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,¬p为假
C.¬p:∃a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,¬p为真
D.¬p:∃a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,¬p为假
9.函数 在某一个周期内的最低点和最高点坐标为 ,则该函数的解析式为(  )
A.  B.  C.  D.
10.若点P(x,y)在以A(﹣3,1),B(﹣1,0),C(﹣2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界),则 的取值范围(  )
A.[ ,1] B.( ,1) C.[ ,1] D.( ,1)
11.已知f(x)=sinx﹣ x(x ,则f(x)的值域为(  )
A.[0, ﹣ ] B.[1﹣ , ﹣ ] C.[0, ﹣ ] D.[1﹣ , ﹣ ]
12.设F1、F2分别是椭圆 的左,右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(3,3),则|PM|﹣|PF2|的最小值为(  )
A.5 B.  C.1 D.
 
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.椭圆 的离心率为      .
14.框图如图所示,最后输出的a=      .
 
15.设实数x,y满足约束条件 目标函数z=x+ay取最大值时有无穷多个最优解,则a=      .
16.已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若P、F1、F2、是一个直角三角形的三个顶点,则P到x轴的距离为      .
 
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知关于x的不等式 对于a∈(1,+∞)恒成立,求实数x的取值范围.
18.已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣4)2=r2(r>0)
(Ⅰ)若直线x﹣y+5=0与圆C相交所得弦长为 ,求半径r;
(Ⅱ)已知原点O,点A(2,0),若圆C上存在点P,使得 ,求半径r的取值范围.
19.已知△ABC中,D为AC的中点,AB=3,BD=2,cos∠ABC= .
(Ⅰ)求BC;
(Ⅱ)求sinA.
 
20.已知数列{an}满足a1=3,an+1﹣3an=3n(n∈N*),数列{bn}满足bn= .
(Ⅰ)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.
21.已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左右顶点分别为A1,A2,过F1作斜率不为0的直线l与椭圆交于A,B两点,△ABF2的周长为8.椭圆上一点P与A1,A2连线的斜率之积 (点P不是左右顶点A1,A2).
(Ⅰ)求该椭圆方程;
(Ⅱ)已知定点M(0,m)(其中常数m>0),求椭圆上动点N与M点距离的最大值.
22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈(0,1)时,f(x)<0,求实数a的取值范围.
 
 

2015-2016学年辽宁省大连二十中高三(上)期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
 
一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U=R,集合 ,则∁UA等于(  )
A.[1,2] B.[1,2) C.(1,2] D.(1,2)
【考点】并集及其运算.
【分析】先解不等式从而解出集合A,然后求∁UA.
【解答】解:∵全集U=R,集合A={x| ≥0}={x|x≤1或x>2},
∴∁UA={x|1<x≤2},
故选C.
 
2.已知复数 ,则z的共轭复数 等于(  )
A.  B.  C.1+i D.1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】化简复数为a+bi,然后求解共轭复数即可.
【解答】解:复数 = = .
则z的共轭复数 = .
故选:A.
 
3.已知 ,则 等于(  )
A.7 B.  C.3 D.
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】直接利用向量的数量积,以及向量的模,求解即可.
【解答】解: ,
则 = = = .
故选:B.
 
4.2015是等差数列3,7,11…的第项(  )
A.502 B.503 C.504 D.505
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】由题意易得数列的通项公式,令其等于2015解n值即可.
【解答】解:由题意可得等差数列的公差d=7﹣3=4,
∴通项公式an=3+4(n﹣1)=4n﹣1,
令4n﹣1=2015可解得n=504
故选:C
 
5.函数y=lg(x2﹣2x)的单调增区间为(  )
A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,1) D.(﹣∞,2)
【考点】复合函数的单调性.
【分析】令t=x2﹣2x>0,求得函数的定义域,根据y=g(t)=lgt,本题即求函数t在定义域内的增区间,再利用二次函数的性质,得出结论.
【解答】解:令t=x2﹣2x>0,求得x<0,或 x>2,故函数的定义域为{x|x<0,或 x>2},
根据y=g(t)=lgt,本题即求函数t在定义域内的增区间,
再利用二次函数的性质求得函数t在定义域内的增区间为(2,+∞),
故选:A.
 
6.已知函数f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=cosx,则 =(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】直接利用函数的奇偶性以及特殊角的三角函数值 求解即可.
【解答】解:函数f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=cosx,
则 =﹣f( )=﹣cos =﹣ .
故选:D.
 
7.若等比数列前n项和为 ,则c等于(  )
A.2 B.﹣2 C.1 D.0
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】求出an,求出a1,a2,a3,再由a22=a1•a3能够得到常数a的值.
【解答】解:因为数列{an}的前n项和Sn=2n+1﹣c所以S1=4﹣c,S2=8﹣c,S3=16﹣c,
又因为a1=s1,a2=s2﹣s1,a3=s3﹣s2,所以a1=4﹣c,a2=4,a3=8,
根据数列{an}是等比数列,可知a1a3=a22,所以(4﹣c)×8=16,解得,c=2.
故选:A.
 
8.命题p:∀a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6相交.则¬p及¬p的真假为(  )
A.¬p:∀a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,¬p为真
B.¬p:∀a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,¬p为假
C.¬p:∃a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,¬p为真
D.¬p:∃a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,¬p为假
【考点】命题的真假判断与应用;命题的否定.
【分析】写出命题否定命题,然后判断真假即可.
【解答】解:命题p:∀a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6相交.则¬p:∃a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,
直线系恒过定点(2,1),因为在圆x2+y2=6的内部,所以直线系恒与圆相交.
所以否定命题是假命题.
故选:D.
 
9.函数 在某一个周期内的最低点和最高点坐标为 ,则该函数的解析式为(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】由函数图象最高点和最低点纵坐标可得振幅A值,相邻最高和最低点间的横坐标之差为半个周期,即可求得函数的周期,进而得ω的值,利用点( ,2)在函数图象上,解得:φ=2kπ﹣ ,k∈Z,结合范围|φ| ,可得φ的值,从而得解.
【解答】解:∵某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为 ,
∴A=2,T=2×( + )=π,
∴ω= = =2,
∴f(x)=2sin(2x+φ),
∵点( ,2)在函数图象上,可得:2sin(2× +φ)=2,sin( +φ)=1,解得:φ=2kπ﹣ ,k∈Z,
∵|φ| ,可得φ=﹣ .
∴该函数的解析式为2sin(2x﹣ ).
故选:B.
 
10.若点P(x,y)在以A(﹣3,1),B(﹣1,0),C(﹣2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界),则 的取值范围(  )
A.[ ,1] B.( ,1) C.[ ,1] D.( ,1)
【考点】直线的斜率.
【分析】先有斜率公式得出式子 的几何意义是点P(x,y)和定点D(1,2)连线的斜率,由题意画出图形,根据图形求直线PD的斜率范围.
【解答】解:式子 的几何意义是点P(x,y)和定点D(1,2)连线的斜率,
根据题意画出图形如图:
由图得,直线BD的斜率是 =1,直线AD的斜率是 = ,
故直线PD的斜率 <k<1,
故选D.
 
 
11.已知f(x)=sinx﹣ x(x ,则f(x)的值域为(  )
A.[0, ﹣ ] B.[1﹣ , ﹣ ] C.[0, ﹣ ] D.[1﹣ , ﹣ ]
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数的值域.
【分析】利用利用导数研究闭区间上的函数的单调性极值与最值即可得出.
【解答】解:f(x)=sinx﹣ x(x ,
f′(x)=cosx﹣ ,
则当 时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当 时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减.
∴当x= 时,函数f(x)取得最大值,  = ﹣ .
而f(0)=0,f( )=1﹣ .
∴f(x)的值域为 .
故选:A.
 
12.设F1、F2分别是椭圆 的左,右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(3,3),则|PM|﹣|PF2|的最小值为(  )
A.5 B.  C.1 D.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意画出图形,利用椭圆定义把|PM|﹣|PF2|转化为|PM|﹣(2a﹣|PF1|)=(|PM|+|PF1|)﹣4.然后求出|MF1|得答案.
【解答】解:如图,
由椭圆方程 ,得a=2,2a=4.
由椭圆定义知:|PF2|=2a﹣|PF1|,
∴|PM|﹣|PF2|=|PM|﹣(2a﹣|PF1|)=(|PM|+|PF1|)﹣4.
连接MF1 交椭圆于P,则P为满足条件的点.
此时|PM|+|PF1|最小,则(|PM|+|PF1|)﹣4最小.
∵F1(﹣1,0),M(3,3),
∴ ,
∴|PM|﹣|PF2|的最小值为1.
故选:C.
 
 
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.椭圆 的离心率为   .
【考点】椭圆的标准方程.
【分析】根据椭圆的标准方程,确定a,b的值,求出c的值,利用离心率公式可得结论.
【解答】解:由题意,a=3,b= ,
∴ ,
∴ =
故答案为:
 
14.框图如图所示,最后输出的a=   .
 
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,a的值,当i=3,时满足条件i≥3,退出循环,输出a的值为 .
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
i=1,a=2
i=2,a=﹣3
不满足条件i≥3,i=3,a=﹣ ,
满足条件i≥3,退出循环,输出a的值为 .
故答案为: .
 
15.设实数x,y满足约束条件 目标函数z=x+ay取最大值时有无穷多个最优解,则a= 0 .
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,要使目标函数的最优解有无数个,则目标函数和其中一条直线平行,然后根据条件即可求出a的值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).
若a=0,则x=z,此时满足条件最大值时有无穷多个最优解,此时a=0,
若a>0,
由z=x+ay得y=﹣ x+ ,
若a>0,∴目标函数的斜率k=﹣ <0.
平移直线y=﹣ x+ ,
由图象可知当直线y=﹣ x+ 和直线AB:x+y=5平行时,此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个,此时不满足条件,
若a<0,∴目标函数的斜率k=﹣ >0.
平移直线y=﹣ x+ ,
由图象可知直线y=﹣ x+ ,取得最大值的点只有一个,此时不满足条件,
综上a=0,
答案为:0
 
 
16.已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若P、F1、F2、是一个直角三角形的三个顶点,则P到x轴的距离为   .
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】设点P(x,y),表示出点P到x轴的距离为|y|,由哪一个角是直角来分类讨论,在第一类中直接令x=±4得结果,在第二类中要列出方程组,再用等面积法求|y|.
【解答】解:设点P(x,y),则到x轴的距离为|y|
由于a=5,b=3,∴c=4,
(1)若∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°,
令x=±4得y2=9 (1﹣ )= ,
∴|y|= ,即P到x轴的距离为 .
(2)若∠F1PF2=90°,则
 ,
∴|PF1||PF2|= =18,
∵ |PF1||PF2|= |F1F2||y|,
∴|y|= ,
由(1)(2)知:P到x轴的距离为 或,
故答案为 或 .
 
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知关于x的不等式 对于a∈(1,+∞)恒成立,求实数x的取值范围.
【考点】其他不等式的解法.
【分析】根据基本不等式的性质得到3≥|2x﹣1|+|x+1|,通过讨论a的范围,求出不等式的解集即可.
【解答】解:设a﹣1=t>0,
则 ,
当且仅当t=1时取等号.
所以3≥|2x﹣1|+|x+1|,
(1)当 时,有3≥3x,得 ;
(2)当 时,有3≥﹣x+2,得 ;
(3)当x≤﹣1时,有3≥﹣3x,得x=﹣1.
综上实数x的取值范围为[﹣1,1].
 
18.已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣4)2=r2(r>0)
(Ⅰ)若直线x﹣y+5=0与圆C相交所得弦长为 ,求半径r;
(Ⅱ)已知原点O,点A(2,0),若圆C上存在点P,使得 ,求半径r的取值范围.
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(Ⅰ)求出C到直线x﹣y+5=0的距离,根据直线x﹣y+5=0与圆C相交所得弦长为 ,利用勾股定理,即可求半径r;
(Ⅱ)由 可得(x﹣4)2+y2=8,所以只需要圆C和圆(x﹣4)2+y2=8有公共点.
【解答】解:(Ⅰ)C到直线x﹣y+5=0的距离为d= = ,直线与圆相交所得弦长为 ,所以 .
(Ⅱ)设P(x,y),由 可得(x﹣4)2+y2=8,
所以只需要圆C和圆(x﹣4)2+y2=8有公共点,两圆圆心距离为5,
所以 .
 
19.已知△ABC中,D为AC的中点,AB=3,BD=2,cos∠ABC= .
(Ⅰ)求BC;
(Ⅱ)求sinA.
 
【考点】解三角形.
【分析】(Ⅰ)作AE、DF垂直于BC,垂足分别为E、F,由和差角的三角函数可得sin∠ABD的值,由2S△ABD=S△ABC可得BC的方程,解方程可得;
(Ⅱ)由余弦定理可得AC的值,再由余弦定理可得cosA,由同角三角函数基本关系可得sinA.
【解答】解:(Ⅰ)作AE、DF垂直于BC,垂足分别为E、F,
由题意可得sin∠ABC= = = ,
∴AE=ABsin∠ABC= ,由中位线可得DF= AE= ,
∴sin∠DBC=  ,cos∠DBC= = ,
∴sin∠ABD=sin(∠ABC﹣∠DBC)= ﹣ = ,
∵D为AC的中点,∴2S△ABD=S△ABC,
∴2× AB•BD•sin∠ABD= AB•BC•sin∠ABC,
∴2× ×3×2× = ×3×BC× ,
解得BC=2;
(Ⅱ)由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC
=9+4﹣2×3×2× =10,∴AC= ,
∴由余弦定理可得cosA= = ,
∴sinA= = .
 
 
20.已知数列{an}满足a1=3,an+1﹣3an=3n(n∈N*),数列{bn}满足bn= .
(Ⅰ)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.
【考点】数列递推式.
【分析】(Ⅰ)利用条件,结合等差数列的定义,即可证明数列{bn}是等差数列,从而求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)利用错位相减法求数列{an}的前n项和Sn.
【解答】(I)证明:∵ , , ,
∴bn+1﹣bn= ,…
∴数列{bn}是等差数列,…
∵ ,∴ ,
∴数列{an}的通项公式 ;…
(II)解:∵ ,
∴ ,
当n≥2时,相减得:
∴ ,…
整理得 ,
当n=1时, ,…
综上,数列{an}的前n项和 .…
 
21.已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左右顶点分别为A1,A2,过F1作斜率不为0的直线l与椭圆交于A,B两点,△ABF2的周长为8.椭圆上一点P与A1,A2连线的斜率之积 (点P不是左右顶点A1,A2).
(Ⅰ)求该椭圆方程;
(Ⅱ)已知定点M(0,m)(其中常数m>0),求椭圆上动点N与M点距离的最大值.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(Ⅰ)由△ABF2的周长为8求得a,然后结合 求得b点的值,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)设出N的坐标,利用两点间的距离公式得到|MN|关于N的纵坐标的函数,然后分类求出椭圆上动点N与M点距离的最大值.
【解答】解:(Ⅰ)如图,由△ABF2的周长为8,得4a=8,即a=2.
∴A1(﹣2,0),A2(2,0),
设P(x0,y0),则 .
又 ,得 ,
即 ,∴b2=1.
则椭圆方程为: ;
(Ⅱ)设椭圆上N(x0,y0)(﹣1≤y0≤1),又M(0,m),
∴|MN|= =
= .
若 ,即m>3时,则当y0=﹣1时,|MN|有最大值为m+1,
若0 ,即0<m≤3时,则当 时,|MN|有最大值为 .
 
 
22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈(0,1)时,f(x)<0,求实数a的取值范围.
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)通过讨论a的范围,确定出满足条件的a的范围即可.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1),(x>0),
f′(x)=﹣ ,
①a<﹣ 时,0<﹣ <1,
令f′(x)<0,解得:x>1或0<x<﹣ ,令f′(x)>0,解得:﹣ <x<1,
∴f(x)在 递减,在 递增;
②﹣ <a<0时,令f′(x)<0,解得:x>﹣ 或0<x<1,令f′(x)>0,解得:1<x<﹣ ,
∴f(x)在 递减,在 递增;
③ ,f′(x)=﹣ ≤0,f(x)在(0,1),(1+∞)递减;
④a≥0时,2ax+1>0,令f′(x)>0,解得:0<x<1,令f′(x)<0,解得:x>1,
∴f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减;
(Ⅱ)函数恒过(1,0),由(Ⅰ)得:a≥﹣ 时,符合题意,
a<﹣ 时,
f(x)在(0,﹣ )递减,在 递增,不合题意,
故a≥﹣ .
 
2016年8月11日


 

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