高三数学必修5复习数列单元检测(带答案)

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高三数学必修5复习数列单元检测(带答案)

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j.Co M

第二章数列单元检测(A卷)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分)
1.数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n2-3n+1,则a4+a5+…+a10等于(  ).
A.171     B.21     C.10     D.161
2.设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=(  ).
A.120     B.105     C.90     D.75
3.(天津高考,理4)已知{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N+,则S10的值为(  ).
A.-110     B.-90     C.90     D.110
4.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于(  ).
A.64     B.81     C.128     D.243
5.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且 ,则 等于(  ).
A.      B.      C.      D.
6.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4等于(  ).
A.7     B.8     C.15     D.16
7.将数列{3n-1}按“第n组有n个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,则第100组中的第一个数是(  ).
A.34 950     B.35 000     C.35 010     D.35 050
8.数列{an}的通项公式为 ,已知它的前n项和Sn=6,则项数n等于(  ).
A.6     B.7     C.48     D.49
9.对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的(  ).
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.(上海高考,理18)设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai是边长为ai,ai+1的矩形的面积(i=1,2,…),则{An}为等比数列的充要条件是(  ).
A.{an}是等比数列
B.a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比数列
C.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列
D.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…a2n,…均是等比数列,且公比相同
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)
11.在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=__________.
12.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=72,则a2+a4+a9=__________.
13.已知公差不为0的正项等差数列中,Sn为其前n项和,lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列,若a5=10,则S5=__________.
14.若数列{an}满足:对任意的n∈N+,只有有限个正整数m使得am<n成立,记这样的m的个数为(an)*,则得到一个新数列{(an)*}.例如,若数列{an}是1,2,3,…,n…,则数列{(an)*}是0,1,2,…,n-1,….已知对任意的n∈N+,an=n2,则(a5)*=________,[(an)*]*=________.
三、解答题(本大题共5个小题,共54分)
15.(10分)(福建高考,文17)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
16.(10分)设数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,…),求证:
(1)数列 是等比数列;
(2)Sn+1=4an.
17.(10分)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.
(1)设 ,证明数列{bn}为等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
18.(12分)某人计划年初向银行贷款10万元用于买房,他选择10年期贷款,偿还贷款的方式为:分10次等额归还,每年一次,并从借后次年年初开始归还,若10年期贷款的年利率为4%,且每年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息),问每年应还多少元(精确到1元)?(1.0410≈1.480 2)
19.(12分)已知数列{an}的首项 ,an+1= ,n=1,2,….
(1)证明数列 是等比数列;
(2)求数列 的前n项和Sn.

参考答案
1. 答案:D
2. 答案:B
解析:由 可得
∴a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=105.
3. 答案:D
解析:∵公差d=-2,则a7=a1+6d=a1-12;a3=a1+2d=a1-4;a9=a1+8d=a1-16.∵a7是a3与a9的等比中项,∴ ,∴(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),∴a1=20.∴S10=10a1+ d=110.
4. 答案:A
解析:设等比数列的公比为q,
∵a1+a2=3,a2+a3=q(a1+a2)=6,∴q=2.
又a1+a2=a1+a1q=3,∴3a1=3.
∴a1=1.∴a7=26=64.
5. 答案:D
解析: .
6. 答案:C
7. 答案:A
解析:由“第n组有n个数”的规则分组中,各组数的个数构成一个以1为首项,1为公差的等差数列,前99组共有 =4 950个数,故第100组中的第一个数为34 951-1=34 950.
8. 答案:C
解析: ,
∴ ,由Sn=6,则有 ,∴n=48.
9. 答案:B
解析:若{an}单调递增,不一定能够说明an+1>|an|一定成立,
如an:{-n,-(n-1),…,-2,-1}显然不满足an+1>|an|一定成立,但是该数列递增;如果an+1>|an|>0,
那么无论an的值取正,取负,一定能够得到{an}是递增数列,
所以an+1>|an|是{an}为递增数列的充分不必要条件.选B.
10. 答案:D
解析:由题意可知,An=an•an+1.
要使{An}为等比数列,
只需 ,即 ,
也就是说,a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同.
11. 答案:4n-1
12. 答案:24
解析:∵ ,∴a1+a9=16.
∵a5为a1和a9的等差中项,∴a5=8.
又a1+a5=a2+a4,
∴a2+a4+a9=a1+a5+a9=16+8=24.
13. 答案:30
解析:由题意可得 =a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),
又d≠0,故d=a1,∴a5=5a1=10,d=a1=2.
∴S5=5a1+ =30.
14. 答案:2 n2
解析:当n=5时,am=m2<5,
所以m=1,2,故(a5)*=2.
计算可知(a1)*=0,(a2)*=(a3)*=(a4)*=1,(a5)*=(a6)*=(a7)*=(a8)*=(a9)*=2,
所以[(a1)*]*=1,[(a2)*]*=4.
同理可知[(a3)*]*=9,…,
由归纳推理知[(an)*]*=n2.
15. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)D.
由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3.
解得d=-2.
从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.
(2)由(1)可知an=3-2n.
所以 .
进而由Sk=-35可得2k-k2=-35,
即k2-2k-35=0.解得k=7或k=-5.
又k∈N+,故k=7为所求.
16. 证明:(1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= Sn,
∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).
整理,得nSn+1=2(n+1)Sn,∴ .
故 是以2为公比的等比数列.
(2)由(1)知 (n≥2),
于是Sn+1=4(n+1)• =4an(n≥2).
又a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4=4a1,
因此对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.
17. (1)证明:∵an+1=2an+2n,
∴ .
∴bn+1=bn+1,bn+1-bn=1(常数).
又b1=a1=1,
∴{bn}是首项为1,公差为1的等差数列.
(2)解:由(1)知,bn= =b1+(n-1)d=n,
∴an=n•2n-1.
∴Sn=1•20+2•21+3•22+…+(n-1)•2n-2+n•2n-1,①
2Sn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)2n-1+n•2n.②
由②-①,得Sn=n•2n-20-21-22-…-2n-1

=n•2n-2n+1
=(n-1)2n+1.
18. 解:10万元在10年后(即贷款全部付清时)的价值为105(1+4%)10元.
设每年还款x元,则第1次偿还的x元在贷款全部付清时的价值为x(1+4%)9;第2次偿还的x元在贷款全部付清时的价值为x(1+4%)8;…;第10次偿还的x元在贷款全部付清时的价值为x元.
由题意有105(1+4%)10=x(1+4%)9+x(1+4%)8+…+x(1+4%)+x,
∴105(1+4%)10= .
∴  (元).
答:每年应还12 330元.
19. (1)证明:∵an+1= ,
∴ .
∴ .
又 ,
∴ .
∴数列 是以 为首项, 为公比的等比数列.
(2)解:由(1)知 ,
即 ,∴ .
设 ,①
则 ,②
①-②,得 ,
∴ .
又1+2+3+…+n= ,
∴数列 的前n项和 .

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