2018届高三数学文上第一次月考试卷(无为县带答案)

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2018届高三数学文上第一次月考试卷(无为县带答案)

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安徽省无为县2018届高三数学上学期第一次月考试题 文
(考试时间:120分钟      满分:150分)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合 ,则 (  )
A.         B.        C.           D.
2.若复数 满足 ( 为虚数单位),则复数 在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限        B.第二象限         C.第三象限        D.第四象限
3.在两个变量y与x的回归模型中,分别选择了四个不同的模型,它们的相关指数 如下,其中拟合效果最好的为(  )       
A.模型①的相关指数为0.976          
B.模型②的相关指数为0.776
C.模型③的相关指数为0.076          
D.模型④的相关指数为0.351
4.若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的 ,则该双曲线的离心率为(   )
A.          B.          C.          D.
5.已知实数 , 满足 ,则 的最小值是(   )
A.0           B.2            
C.3           D.5
6.已知 是定义在实数集 上的偶函数,且在 上递增,则(   )   
A.           
B.
C.           
D.
7.已知蝴蝶(体积忽略不计)在一个长、宽、高分别为5,4,3的长方体内自由飞行,若蝴蝶在飞行过程中始终保持与长方体的6个面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蝴蝶“安全飞行”的概率为(    )
 A.              B.            C.            D. 
8.函数 的图象大致是(    )  
           
        A.                 B.                  C.                D.    
9.我国南宋数学家秦九韶(约公元1202﹣1261年)给出了
求 ( )次多项式 ,
当 时的值的一种简捷算法.该算法被后人命名为
“秦九韶算法”,例如,可将3次多项式改写为 然后进行求值.
运行如图所示的程序框图,能求得多项式(      )的值.
A.   B. 
C.       D.


10.已知 成立,  函数 是减函数, 则 是 的(   )
A.充分不必要条件            
B.必要不充分条件           
C.充要条件                   
D.既不充分也不必要条件

11.如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图,
则该几何体的体积为(    )     
A.                        B.     
C.                          D.               

12.已知函数 ,若当 时, 恒成立,则实数 的取值范围是(   )
A.           B.           C.            D.
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.)
13.已知 , ,若 与 共线,则实数 的值为          .
14. 已知 是锐角,且 ,则           .
15.设函数 ,若曲线 在点 处的切线方程为 ,则实数           .
16.已知棱长为2的正方体 ,球 与该正方体的各个面相切,则平面 截此球所得的截面的面积为          .

三、解答题:(本大题共6小题,第17—21小题为必考题,第22—23小题为选考题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本题满分12分)
已知等差数列 的前 项和为 ,等比数列 的前 项和为 ,且 , , .
(Ⅰ)若 ,求数列 的通项公式;
(Ⅱ)若 ,求 .

18.(本题满分12分)
在三棱柱 中, , , 为 的中点.
(Ⅰ)证明: 平面 ;
(Ⅱ)若 ,点 在平面 的射影在 上,且侧面 的面积为 ,求三棱锥 的体积.
19.(本题满分12分)
某保险公司有一款保险产品的历史收益率(收益率=利润÷保费收入)的频率分布直方图如图所示:
 

(Ⅰ)试估计平均收益率;
(Ⅱ)根据经验,若每份保单的保费在20元的基础上每增加 元,对应的销量 (万份)与 (元)有较强线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如下5组 与 的对应数据:
 
据此计算出的回归方程为 .
(i)求参数 的估计值;
(ii)若把回归方程 当作 与 的线性关系,用(Ⅰ)中求出的平均收益率估计此产品的收益率,每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益,并求出该最大收益.
20.(本题满分12分)
设抛物线的顶点在坐标原点,焦点 在 轴的正半轴上,过点F的直线交抛物线于 , 两点,线段 的长度为8, 的中点到 轴的距离为3.
(Ⅰ)求抛物线的标准方程;
(Ⅱ)设直线 在 轴上的截距为6,且与抛物线交于 , 两点,连结 并延长交抛物线的准线于点 ,当直线 恰与抛物线相切时,求直线 的方程.


21.(本题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ) 若函数 有零点, 求实数 的取值范围;
(Ⅱ) 证明: 当 时,  .


请考生在第22~23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](本题满分10分)
在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 为参数 . 在以坐标原点为极点,
 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线
(Ⅰ) 求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;
(Ⅱ) 求曲线 上的点到直线 的距离的最大值.

23.[选修4-5:不等式选讲](本题满分10分)
已知 .
(Ⅰ)当 ,解不等式 ;
(Ⅱ) 对任意 恒成立,求 的取值范围.
 

高三文试卷答案
一、选择题
1-5: DCABB       6-10:DACAB     11-12:CD
二、填空
13.           14.            15.            16.
三、解答题
17.解:(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 .
由 , , , ,得
 ,解得: ,或 .
则 的通项公式为 .
(Ⅱ)由 可得 ,解得 .
当 时, ,
 ;
当 时, ,
 .
18.(Ⅰ)证明:连接 交 于点 ,连接 .
则 为 的中点,又 为 的中点,
所以 ,且 平面 , 平面 ,
则 平面 .
(Ⅱ)解:取 的中点 ,连接 ,过点 作 于点 ,连接 .
因为点 在平面 的射影 在 上,且 ,
所以 平面 ,∴ , ,
∴ 平面 ,则 .
设 ,在 中, , ,
∴ , , ,
由 ,可得 .
则  .
所以三棱锥 的体积为 .

19.解:(Ⅰ)区间中值依次为:0.05,0.15,0.25,0.35,0.45,0.55,
取值概率依次为:0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05,
平均收益率为:  
  .
(Ⅱ)(i) 
  ,所以
(ii)设每份保单的保费为 元,则销量为 ,则保费收入为
  万元,
即 
当 元时,保费收入最大为360万元,保险公司预计获利为 万元.

20.解(Ⅰ)设所求抛物线方程为 , , ,则
 ,又 ,所以 .
即该抛物线的标准方程为 .
(Ⅱ)由题意,直线 的斜率存在,不妨设直线 , .
由 消去 得, ,则 ........(*)
抛物线在点 处的切线方程为 .
令 得, ,所以
因为 三点共线,所以 及 ,得 .
即 ,整理得:
 
将(*)式代入上式,得 ,即 .

 21. 解:(Ⅰ)法1: 函数 的定义域为 .
由 , 得 .
因为 ,则 时,  ; 时,  .
所以函数 在 上单调递减, 在 上单调递增.
当 时,  .
 当 , 即  时, 又 , 则函数 有零点.
所以实数 的取值范围为 .
法2:函数 的定义域为 .
由 , 得
令 ,则 .
当 时,  ; 当 时,  .
所以函数 在 上单调递增, 在 上单调递减.
故 时, 函数 取得最大值 .
因而函数 有零点, 则 .
所以实数 的取值范围为 .
 (Ⅱ) 要证明当 时,  ,
 即证明当  时,  , 即 .
 令 , 则 .
当 时,  ;当 时,  .
所以函数 在 上单调递减, 在 上单调递增.
当 时,  .
于是,当 时,    ①
 令 , 则 .
当 时,  ;当 时,  .
所以函数 在 上单调递增, 在 上单调递减.
当 时,  .
于是, 当 时,    ②
显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当 时, 

22.解: (Ⅰ) 由  消去 得 ,
所以直线 的普通方程为
由  ,
得 .将 代入上式,
得曲线 的直角坐标方程为 , 即 .
 (Ⅱ) 法1:设曲线 上的点为 ,
则点 到直线 的距离为:
  
 当 时,  ,
 所以曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 .
法2: 设与直线 平行的直线为 ,
当直线 与圆 相切时, 得 ,解得 或 (舍去),
所以直线 的方程为 ,所以直线 与直线 的距离为 .
所以曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 .

23.解:(Ⅰ)当 , ,
由 可得 ,即 ,
当 时,原不等式等价于 ,即 ,∴ ,
当 时,原不等式等价于 ,即 ,∴ ,
当 时,原不等式等价于 ,即 ,∴ ,
综上所述,不等式的解集为 ;
(Ⅱ)当 时, ,∴ 恒成立,
∴ ,即 ,当 时恒成立,
∴ 的取值范围 .

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