2018届高考数学一轮数列复习精选试题(广州市天河区含答案)

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2018届高考数学一轮数列复习精选试题(广州市天河区含答案)

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数列02

解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
1.函数f(x)定义在[0,1]上,满足 且f(1)=1,在每个区间 =1,2,…)上, y=f(x) 的图象都是平行于x轴的直线的一部分.
(Ⅰ)求f(0)及 的值,并归纳出 )的表达式;


(Ⅱ)设直线 轴及y=f(x)的图象围成的矩形的面积为 , 求a1,a2及 的值.


【答案】 (Ⅰ) 由f(0)=2f(0), 得f(0)=0.
   由 及f(1)=1, 得 .
  同理, 
 归纳得
(Ⅱ) 当 时, 
   
   
   
 所以 是首项为 ,公比为 的等比数列.
所以

 

2.已知等差数列 满足 ;又数列 满足 +…+ ,其中 是首项为1,公比为 的等比数列的前 项和。
(I)求 的表达式;

 

(Ⅱ)若 ,试问数列 中是否存在整数 ,使得对任意的正整数 都有 成立?并证明你的结论。

 


【答案】(I)设 的首项为 ,公差为d,于是由
        解得         
       (Ⅱ)
        由   ①
        得      ②
        ①—②得    即
        当 时, ,当 时,
        
        于是
        设存在正整数 ,使对 恒成立
        当 时, ,即
        当 时,
        
         当 时, 当 时, ,当 时,
         存在正整数 或8,对于任意正整数 都有 成立。

 

3.函数 对任意 都有
(1)求 的值;

 

(2)数列 满足: ,求 ;


(3)令 ,试比较 与 的大小.

 


【答案】(1)令 ,
则有
   (2)令 ,得 即
因为 ,
所以
两式相加得:
 ,
 
   (3) ,
 时, ;
 时,
 
     =4 

4.已知数列 为等差数列,且
(1)求数列 的通项公式;
 

(2)证明
 

【答案】(I)设等差数列 的公差为d.
    由 即d=1.
所以 即
(II)因为 ,
所以 

 

5.已知等比数列 中, , , .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 ,求 的最大值及相应的 值.
【答案】 (Ⅰ) 由 , ,所以  .
 以 .
 所以 通项公式为: .
(Ⅱ)设 ,则 .
所以, 是首项为6,公差为 的等差数列.
 = .
因为 是自然数,所以, 或 时,  最大,其最值是  21.


6.如图,将圆分成 个扇形区域,用3种不同颜色给每一个扇形区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为 。求
 
(Ⅰ) ;


(Ⅱ) 与 的关系式;


(Ⅲ)数列 的通项公式 ,并证明 。
【答案】(Ⅰ) 当 时,不同的染色方法种数  ,
当 时,不同的染色方法种数  ,
当 时,不同的染色方法种数  ,
当 时,分扇形区域1,3同色与异色两种情形
∴不同的染色方法种数  。
(Ⅱ)依次对扇形区域 染色,不同的染色方法种数为 ,其中扇形区域1与 不同色的有 种,扇形区域1与 同色的有 种

(Ⅲ)∵ 

 
………………
 
将上述 个等式两边分别乘以 ,再相加,得
 ,
∴ ,
从而 。
(Ⅲ)证明:当 时,
当 时,  ,
当 时,
  ,
故 

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