2018届高三数学一轮复习圆锥曲线与方程模拟试题精选(含答案)

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2018届高三数学一轮复习圆锥曲线与方程模拟试题精选(含答案)

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圆锥曲线与方程
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知抛物线 的焦点为F,过F的直线与该抛物线相交于 两点,则 的最小值是(    )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】B
2.已知圆O的半径为定长r,A是圆O外一定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线 和直线OP相较于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是(    )
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线一支
【答案】D
3.若直线mx- ny = 4与⊙O: x2+y2= 4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆  的交点个数是(    )
A.至多为1 B.2 C.1 D.0
【答案】B

4.椭圆 的右焦点为F,其右准线与 轴的交点为 .在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是(    )
A.(0, )  B.(0, )
C.[ ,1]  D.[ ,1]
【答案】D
5.已知双曲线 的中心为原点, 是 的焦点,过 的直线 与 相交于 两点,且 的中点为 ,则双曲线 的方程为(    )
A.  B.   C.  D.
【答案】C
6.抛物线  的焦点为F,点ABC在此抛物线上,点A坐标为(1,2).若点F恰为△ABC的重心,则直线BC的方程为(    )
A.   B.   C.   D. 
【答案】B
7.已知F是椭圆 (a>b>0)的左焦点, P是椭圆上的一点, PF⊥x轴, OP∥AB(O为原点), 则该椭圆的离心率是(    )
 
A.  B.  C.  D.  
【答案】A
8.抛物线  的准线方程是(    )
A.  B.  C.  D.
【答案】D
9.方程 所表示的曲线图形是(    )
 
【答案】D
10.椭圆的两个焦点是F1(-1, 0), F2(1, 0),P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则该椭圆方程是(    )
A.  B.  C.  D.
【答案】C
11.我们把离心率为黄金比 的椭圆称为“优美椭圆”.设  (a>b>0)为“优美椭圆”,F、A分别是它的左焦点和右顶点,B是它短轴的一个端点,则∠ABF等于(    )
A.60° B.75° C.90° D.120°
【答案】C
12.设双曲线 交双曲线的两渐近线于点A、B,且 ,则双曲线的离心率为(    )
A.  B.  C.  D.
【答案】B
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.已知过点P(1,0)且倾斜角为60°的直线l与抛物线 交于A、B两点,则弦长|AB|=            .
【答案】
14.设 为抛物线 的焦点,与抛物线相切于点 的直线 与 轴的交点为 ,则 的值是           .
【答案】
15.已知P为椭圆  上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=900,则△F1PF2的面积为___________;
【答案】9
16.已知椭圆 的焦点为F1、F2,直线CD过焦点F1,则∆F2CD的周长为_______
 
【答案】20
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.已知直线L: 与抛物线C: ,相交于两点 ,设点 , 的面积为 .
 
(Ⅰ)若直线L上与 连线距离为 的点至多存在一个,求 的范围。
(Ⅱ)若直线L上与 连线的距离为 的点有两个,分别记为 ,且满足  恒成立,求正数 的范围.
【答案】(1)由已知, 直线L与抛物线相交,所以
 ,即 … (1)
又直线L与以M为圆心的单位圆相离或相切,所以 , …(2)
由(1)(2)得:
 
(2)由题意可知,当直线L与以M为圆心的单位圆相交于点 C,D时,可得
 ,且
令 ,
令 ,
 ,当且仅当 取到最小值是
所以, 
18.已知椭圆 ,当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围。
【答案】由   得
   因为直线与椭圆有公共点
   所以 ,解得
19.抛物线 与直线 相交于 两点,且
(Ⅰ)求 的值。
   (Ⅱ)在抛物线 上是否存在点 ,使得 的重心恰为抛物线 的焦点 ,若存在,求点 的坐标,若不存在,请说明理由。
【答案】(Ⅰ)设 , ,由直线与抛物线方程联立可得:
 
 
由 可得

 即
(Ⅱ)假设存在动点 ,使得 的重心恰为抛物线 的焦点 ,
由题意可知, 的中点 坐标为
由三角形重心的性质可知,
即  即 满足抛物线方程
故存在动点 ,使得 的重心恰为抛物线 的焦点 
20.已知椭圆 的两个焦点分别为 , ,点 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
 (Ⅰ)求椭圆 的方程;
 (Ⅱ)过点 的直线 与椭圆 相交于 , 两点,设点 ,记直线 , 的斜率分别为 , ,求证: 为定值.
【答案】(Ⅰ)依题意,由已知得  , ,由已知易得 ,
解得 .
      则椭圆的方程为 .
(II) ①当直线 的斜率不存在时,由 解得 .
设 , ,则 为定值.
②当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为: .
将 代入 整理化简,得 .
依题意,直线 与椭圆 必相交于两点,设 , ,
则 , .
又 , ,
所以   
 
 
综上得 为常数2.
21.已知双曲线 的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于 ,过右焦点F2的直线 交双曲线于A、B两点,F1为左焦点.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)若 的面积等于 ,求直线 的方程.
【答案】(Ⅰ)依题意, ,∴双曲线的方程为: (4分)
(Ⅱ)设 , ,直线 ,
由 ,消元得 ,
 时, , ,
 的面积
   ,
所以直线 的方程为 
22.设动点   到定点 的距离比到 轴的距离大 .记点 的轨迹为曲线C.
(1)求点 的轨迹方程;
(2)设圆M过 ,且圆心M在P的轨迹上, 是圆M在 轴的截得的弦,当M运动时弦长 是否为定值?说明理由;
(3)过 做互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S,求四边形 面积的最小值.
【答案】 (1)  由题意知,所求动点 为以 为焦点,直线 为准线的抛物线,方程为 ;
        (2) 设圆心 ,半径
         圆的方程为
         令 得    
       即弦长 为定值;
    (3)设过F的直线方程为  ,
           由 得
           由韦达定理得   
            同理得
    四边形 的面积 .

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