2018年高考数学一轮复习利用导数研究函数的单调性特色训练(含答案)

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2018年高考数学一轮复习利用导数研究函数的单调性特色训练(含答案)

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三、利用导数研究函数的单调性、极(最)值
一、选择题
1.【2018届青海省平安县第一高级中学高三(B班)上周练2】曲线  的单调增区间是(     )
A.  ;    B.  ;    C.  及  ;    D.  及 ;
【答案】B
 故选B.
2.【2017北京西城35中高三上期中】函数 存在极值点,则实数 的取值范围是(    ).
A.      B.      C.  或     D.  或
【答案】C
【解析】∵ ,  恒有解,∴ ,
 ,  ,∴ 或 ,当 时,  (舍去),
∴ 或 ,
故选 .
3.【2018届河北省定州中学高三上第二次月考】已知函数 为增函数,则 的取值范围是(  )
A.      B.        B.        D. 
【答案】A
【解析】∵函数f(x)=(2x−1)ex+ax2−3a(x>0)为增函数,
∴f′(x)=(2x+1)ex+2ax⩾0,化为 ,
令 ,则 ,
可得: 时,函数g(x)取得极大值即最大值, .
∴ .
∴a的取值范围是 .
本题选择A选项.
4.【2018届湖北省枣阳市高级中学高三十月月考】函数 的极值点所在的区间为(    )
A.      B.      C.      D. 
【答案】A
 
5.【2018届山东省邹平双语学校二区高三上第一次月考】函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(  )
 
A.        B.    
 C.        D. 
【答案】D
【解析】由当f′(x)<0时,函数f(x)单调递减,当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,则由导函数y=f′(x)的图象可知:f(x)先单调递减,再单调递增,然后单调递减,最后单调递增,排除A,C,且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧,排除B,
故选D.
6.【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】已知函数   ,则 、 、 的大小关系(  )
A.      B.  > >
C.  > >     D.  > >
【答案】A
 
7.【2018届云南省名校月考(一)】已知函数 有两个零点,则 的取值范围是(   )
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ,因为 ,当 时,  ,则函数 在 上单调递增,不满足条件;当 时,令 ,得 ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 为极小值点,要使 有两个零点,即要 ,即 ,则 的取值范围是 ,故选D.
8.【2018届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知 是定义在 上的可导函数,且满足 ,则(    )
A.      B. 
C.  为减函数    D.  为增函数
【答案】A
【解析】构造函数g(x)=x3exf(x),g′(x)=x2ex[(x+3)f(x)+xf′(x)],
∵(x+1)f(x)+xf'(x)>0,∴g′(x)=x2ex[(x+1)f(x)+x′(x)]>0,
故函数g(x)在R上单调递增,而g(0)=0
∴x>0时,g(x)=x3exf(x)>0⇒f(x)>0;x<0时,g(x)=x3exf(x)<0⇒f(x)>0;
在(x+3)f(x)+xf'(x)>0中取x=0,得f(0)>0.
综上,f(x)>0.
本题选择A选项.
9.【2018届湖北省黄冈市高三9月检测】已知函数 ,在区间 内任取两个数 ,且 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是(     )
A.      B.      C.      D. 
【答案】C
 
10.【2018届陕西省西安中学高三10月月考】已知函数 ,若对于任意的 ,都有 成立,则实数 的取值范围是(   )
A.      B.      C.      D. 
【答案】A
【解析】利用排除法,当 时, ,函数在定义域上单调递增, ,满足题意,排除CD选项,
当 时, ,
函数在定义域上单调递减, ,
满足题意,排除B选项,
本题选择A选项.
11.【2018届陕西省西安中学高三10月月考】若函数 在 单调递增,则 的取值范围是(   )
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
 
当0<t⩽1时,  ,
由 在(0,1]递增,可得t=1时,取得最大值−1,
可得3a⩾−1,即a⩾− ;
当−1⩽t<0时,3a⩽ ,
由 在[−1,0)递增,可得t=−1时,取得最小值1,
可得3a⩽1,即a⩽ .
综上可得a的范围是 .
故选:D.
12.【2018届河北省定州中学高三上第二次月考】已知 为自然对数的底数,若对任意的 ,总存在唯一的 ,使得 成立,则实数 的取值范围是
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
  对任意的 ,总存在唯一的 ,使得 成立,则
 是 的不含极值点的单调区间的子集,  , 在 上递减,在 上递增,最小值 , ,最大值为 ,
①要使得对任意的 ,总存在唯一的 ,使得 成立,则 的最大值不大于 的最大值 ,解得 ;
② 在 上递减,在 上递增,  的值域为  时,有两个  值与之对应,若只有唯一的 ,则 的最小值要比 大,即:  ,
综上: 的取值范围是 ,选D.
二、填空题
13.【2018届南宁市高三摸底联考】已知函数 , ,则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意可得f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,又 = = ,所以原不等式可化为 ,即 ,
又x>0时, >0,所以f(x)在 上单调递增,上式转化为 解得 ,填 .
14.【2018届江苏省南通中学高三10月月考】定义在 上的函数 满足 , 为 的导函数,且 对 恒成立,则 的取值范围是__________________.
【答案】
 设 ,则 ,
 在 上为增函数,所以 即 ,即 ,
因此, 的取值范围是 .
15.【2018届江苏省启东中学高三10月月考】已知函数  在  上是增函数,函数 ,当  时,函数g(x)的最大值M与最小值m的差为  ,则a的值为______.
【答案】
【解析】 ,因为 在 上是增函数,即 在 上恒成立,  ,则 ,当 时,  ,
又 ,令 ,则 ,
(1)当 时,  ,  ,
则 ,则 ,
(2)当 时,  ,  ,
则 ,舍.
 .
16.如图是函数 的图象,给出下列命题:
 
① 是函数 的极值点
②1是函数 的极小值点
③ 在 处切线的斜率大于零
④ 在区间 上单调递减
则正确命题的序号是__________.
【答案】①③④
 ②当x>−2时,f′(x)>0,函数单调递增,
∴1是函数y=f(x)的极小值点,错误。
③当x>−2时,f′(x)>0,函数单调递增,
∴y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零,∴③正确。
④当x<−2时,f′(x)<0,函数单调递减,
∴y=f(x)在区间(−∞,−2)上单调递减,∴④正确。
则正确命题的序号是①③④,
故答案为:①③④
三、解答题
17.【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】已知函数 .
(I)若 在 处的切线方程为 ,求 的值;
(II)若 在 上为增函数,求 得取值范围.
【答案】(1)   (2) 
 试题解析:
(I)因为 ,又 在 处的切线方程为 ,
所以 所以
(II)因为 在 上为增函数,
所以 在 上恒成立.
即 在 上恒成立,所以有 .
点睛:高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度:
(1)已知切点求切线方程;
(2)已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程;
(3)已知曲线求切线倾斜角的取值范围.
18.【2018届浙江省温州市高三9月测试】已知函数 .
(1)求 的单调递增区间;
(2)当 时,求证: .
【答案】(1)  的单调递增区间为 和 ;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)求出 ,  解不等式即可得 的单调增区间;
(2) 等价于 ,利用导数研究函数的单调性,证明 ,从而可得结果.
试题解析:(1)∵     ,
令 ,解得 或 ,
又由于函数 的定义域为 ,
∴ 的单调递增区间为 和 .
(2)由(1)知 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以,当 时, ,
因此,当 时,恒有 ,即 .
19.【2018届河北省定州中学高三上第二次月考来】已知函数  .
   (I) 讨论函数 的单调区间;
   (II)当 时,若函数 在区间 上的最大值为3,求 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)当 时,  在 内单调递增,  在 内单调递减;当 时,  在 单调递增;当 时,  在 内单调递增,  在 内单调递减;(Ⅱ)即 的取值范围是 .7
【解析】试题分析:
  (Ⅱ)当 时,函数的解析式 ,则 ,讨论函数的单调性可得 ,  ,且 ,则 的取值范围是 .
试题解析:
(I) .
令 得 .
(i)当 ,即 时,  ,  在 单调递增.
(ii)当 ,即 时,
当 时 ,  在 内单调递增;
当 时 ,  在 内单调递减.
(iii)当 ,即 时,
 
当 时,  在 单调递增;
当 时,  在 内单调递增,
 在 内单调递减.(其中 )
(II)当 时,  , 
令 ,得 .
将 ,  ,  变化情况列表如下:
 
 
 ↗
 极大
 ↘
 极小
 ↗


由此表可得 ,  .
又 ,
故区间 内必须含有 ,即 的取值范围是 .
20.【2018届江苏省常熟中学高三10月抽测(一)】已知函数 .
(1)若函数 是单调递减函数,求实数 的取值范围;
(2)若函数 在区间 上既有极大值又有极小值,求实数 的取值范围.
【答案】(1)  ;(2)  .
【解析】试题分析:
  (2)由题意可知 在 上有两个相异实根,结合二次函数根的分布可得实数 的取值范围是 .
试题解析:
(1)   ,
∵函数 是单调递减函数,∴ 对 恒成立,
∴ 对 恒成立,即 对 恒成立,
∵ (当且仅当 ,即 取“ ”),∴ ;
(2)∵函数 在 上既有极大值又有极小值,
∴ 在 上有两个相异实根,
即 在 上有两个相异实根,
记 ,则 ,得 ,
即 .
21.【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】设函数 .
(1)当曲线 在点 处的切线与直线 垂直时,求 的值;
(2)若函数 有两个零点,求实数 的取值范围.
【答案】(1)  ;(2)  .
 试题解析:
由题意知,函数 的定义域为 ,  ,∴ ,解得 .
(2)若函数 有两个零点,则方程 恰有两个不相等的正实根,即方程 恰有两个不相等的正实根.设函数 ,∴   .
当 时,  恒成立,则函数 在 上是增函数,∴函数 最多一个零点,不合题意,舍去;当 时,令 ,解得 ,令 ,解得 ,则函数 在 内单调递减,在 上单调递增.易知 时,  恒成立,要使函数 有2个正零点,则 的最小值 ,即 ,即 ,∵ ,∴ ,解得 ,即实数 的取值范围为 .
22.【2018届河南省洛阳市高三上期中】已知函数 ,其导函数 的两个零点为-3和0.
(1)求曲线 在点 处的切线方程;
(2)求函数 的单调区间;
(3)求函数 在区间 上的最值.
【答案】(1) (2) 的单调增区间是 , ,单调递减区间是(-3,0).(3)函数 在区间 上的最大值为 ,最小值为-1.
【解析】试题分析:对函数求导,由于导函数有两个零点,所以这两个零点值满足 ,解方程组求出m,n;利用导数的几何意义求切线方程,先求 f(1),求出切点,再求 得出斜率,利用点斜式写出切线方程,求单调区间只需在定义域下解不等式 和 ,求出增区间和减区间;求函数在闭区间上的最值,先研究函数在该区间的单调性、极值,求出区间两端点的函数值,比较后得出最值.
试题解析:
 
(2)由于 ,当 变化时, , 的变化情况如下表:
    -3   0 
  + 0 - 0 +
  单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

故 的单调增区间是 , ,单调递减区间是(-3,0).
(3)由于 , , ,
所以函数 在区间 上的最大值为 ,最小值为-1.

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