2018届高三理科数学一模试卷(佛山市含答案)

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2018届高三理科数学一模试卷(佛山市含答案)

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佛山市2018届普通高中高三教学质量检测(一)
数学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.
  2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.
  3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数 的实部为(    )
 A.  B.  C.  D.
2.已知全集 ,集合 , ,
则图1中阴影部分表示的集合为(   )
 A.  B.  图1
C.  D.
3.若变量 满足约束条件 ,则 的最小值为(     )
 A.  B.  C.  D.
4.已知 ,则“ ”是“ ”的(     )
 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.曲线 上所有点向右平移 个单位长度,再把得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 ,得到曲线 ,则 (     )
 A.关于直线 对称 B.关于直线 对称 
C.关于点 对称 D.关于点 对称
6.已知 ,则 (   )
 A.  B.  C.  D.
 
7.当 时,执行图2所示的程序框图,输出的 值为(     )
 A.  B.  C.  D.
 

8.某几何体的三视图如图3所示,该几何体的体积为(    )
 A.  B.  C.  D.
9.已知 为奇函数, 为偶函数,则 (     )
 A.  B.  C.  D.
10. 内角 的对边分别为 ,若 ,则 的面积 (    )
 A.  B.  C.  D.
11.已知三棱锥 中,侧面 底面 , , , , ,则三棱锥 外接球的表面积为(     )
 A.  B.  C.  D.
12.设函数 ,若 是函数 的两个极值点,现给出如下结论:
①若 ,则 ;
②若 ,则 ;
③若 ,则 ;
期中正确的结论的个数为(      )
A.  B.  C.  D.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23为选考题,考生根据要求作答.

二、填空题:本大共4小题,每小题5分,满分20分.
13.设 ,若 ,则实数 的值等于                .
14.已知 , 的展开式中 的系数为1,则 的值为                .
15.设袋子中装有3个红球,2个黄球,1个蓝球,规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分,现从该袋子中任取(有放回,且每球取得的机会均等)2个球,则取出此2球所得分数之和为3分的概率为                .
16.双曲线 的左、右焦点分别为 ,焦距为 ,以右顶点 为圆心,半径为 的圆与过 的直线 相切于点 .设 与 的交点为 ,若 ,则双曲线 的离心率为                .

三、解答题:本大题共7小题,共70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
已知各项均不为零的等差数列 的前 项和为 ,且满足 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求数列 的前 项和为 .


18.(本题满分12分)
有甲乙两家公司都愿意用某求职者,这两家公司的具体聘用信息如下:
 (Ⅰ)根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司?说明理由;
(Ⅱ)某课外实习作业小组调查了1000名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到以下数据分布:
 

若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的 的观测值为 .请用统计学知识分析:选择意愿与年龄变量和性别变量中哪一个关联性更大?
 
0.050 0.025 0.010 0.005
 
3.841 5.024 6.635 7.879
附:


19.(本题满分12分)
如图4,已知四棱锥 中, , , , , ,
 .
(Ⅰ)证明:顶点P在底面ABCD的射影落在 的平分线上;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.

 

20.(本题满分12分)
已知椭圆 :  的焦点与抛物线 : 的焦点F重合,且椭圆右顶点P到F的距离为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设直线 与椭圆 交于A,B两点,且满足 ,求 面积的最大值.


21.(本题满分12分)
已知函数 (其中 ).
(Ⅰ)若曲线 在点 处的切线方程为 ,求 的值;
(Ⅱ)若 ( 是自然对数的底数),求证: .


请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清楚题号.
22.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数, ),曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线 的极坐标方程;
(Ⅱ)设 与 交于M,N两点(异于原点),求 的最大值.

23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数 .
(Ⅰ)求 ,求 的取值范围;
(Ⅱ)若 ,对 ,都有不等式 恒成立,求 的取值范围.
数学(理科)参考答案
一、选择题
1-5: BAABD      6-10:CCCDC      11、D   12:B
二、填空题
13.            14.            15.             16.
三、解答题
17.解:(Ⅰ)设等差数列 的通项为 ,则 ,
由 可得 
即 ,则 ,解得
所以 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 ,当 时, ,得
所以 ,
所以
所以 .
18.解:(Ⅰ)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量 ,
则 ,
 ,
 ,
则 ,
我希望不同职位的月薪差距小一些,故选择甲公司或我希望不同职位的月薪差距大一些,故选择乙公司;
(Ⅱ)因为 ,根据表中对应值,得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是 ,
由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的 列联表:
 
计算 
 ,差表知得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为 ,
由 ,所以与年龄相比,选择意愿与性别关联性更大.
19.解:(Ⅰ)设点 为点 在底面 的射影,连接 ,则 底面 ,
分别作 ,垂足分别为 ,连接 ,
因为 底面 , 底面 ,所以 ,
又   ,所以 平面 平面 ,
所以 ,
同理 ,即 ,
又 ,所以 ,
所以 ,又 ,所以 ,
所以 ,所以 为 的平分线.
(Ⅱ)以 为原点,分别以 所在直线为 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系 ,
因为 ,所以 ,因为 为 的平分线,
所以 ,所以 ,
则 ,
所以 
设平面 的一个法向量为 ,
则  ,可取 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则由 ,可取 ,
所以  ,
所以二面角 的余弦值为 .
 
20.解:(Ⅰ)设椭圆 的半焦距为 ,依题意,可得 ,
且  ,
所以椭圆 的方程为  .
(Ⅱ)依题意,可设直线 的斜率存在且不为零,
不妨设直线 ,则直线 ,
联立:  得 ,
则 
同理可得: ,
所以 的面积为:
 ,
当且仅当 ,即 是面积取得最大值 .
21. (Ⅰ) 的定义域为 ,  ,
由题意知  ,则 ,
解得 或 ,所以 .
(Ⅱ)令 ,则 ,
因为 ,所以 ,即 在 上递增,
以下证明在 区间 上有唯一的零点 ,
事实上 ,
因为 ,所以 , ,
由零点的存在定理可知, 在 上有唯一的零点 ,
所以在区间 上, 单调递减;
在区间 上, 单调递增,
故当 时, 取得最小值 ,
因为 ,即 ,
所以 ,
即 .
 ,故当 时,
22.解:(Ⅰ)曲线 的普通方程为 ,
化简得 ,则 ,所以曲线 的极坐标方程为 .
(Ⅱ)由直线 的参数方程可知,直线 必过点 ,也就是圆 的圆心,则 ,
不妨设 ,其中 ,
则  ,
所以当  , 取得最大值为 .
23.解:(Ⅰ) ,
若 ,则 ,得 ,即 时恒成立,
若  ,则 ,得 ,即 ,
若 ,则 ,得 ,即不等式无解,
综上所述, 的取值范围是 .
(Ⅱ)由题意知,要使得不等式恒成立,只需 ,
当 时, ,
因为 ,所以当 时, ,
即 ,解得 ,结合 ,所以 的取值范围是 .

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