2018届高三上学期期末统一模拟考试数学(文)试卷(长沙市带答案)

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2018届高三上学期期末统一模拟考试数学(文)试卷(长沙市带答案)

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长沙市2018届高三期末统一模拟考试
文科数学
长沙市教科院组织名优教师联合命制
本试题卷共7页,全卷满分150分,考试用时120分钟。
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.己知集合A = {x|x-1>0},B={x| 2-x<0},则下列结论正确的是
A.A∩B=A                         B.AUB=B
C.“x∈A”是“x∈B”的充分条件     D.“x∈A”是“x∈B”的必要条件
2.己知复数 ,则下列结论正确的是
A. z的虚部为i    B.|z|=2
C.  为纯虚数     D. z的共轭复数
3.己知a,b为单位向量,且a丄(a+2b),则向量a与b的夹角为
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4.设首项为1,公比为 的等比数列{a}的前n项和为Sn,则下列结论正确的是
A. Sn = 4-3an B. Sn = 3-2an
C. Sn = 3an -2 D. Sn = 2an-1
5.己知/(x)是定义在R上的偶函数,且当x彡0时,/(x)=x2—x,则不等式/(x+2)<6 的解集是
A.{x|—5<x<1}   B.{x|—4<x<0}
C.{x|—1<x<5}   D.{x| 0<x<4}
6.己知某几何体的正视图和俯视图是如图所示的两个全等的矩形,给出下列4个图形:
 
其中可以作为该几何体的侧视图的图形序号是
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
7.若正整数N除以正整数m后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的 “中国剩余定理”,则执行该程序框图输出的 等于
A. 3 
B. 9  
C.27   
D.81
8.函数  的图象大致为
 


9.设点A(1,0),B(-1,0),M为动点,己知直线AM与直线BM的斜率之积为定值
m(m≠0),若点M的轨迹是焦距为4的双曲线(除去点A、B),则m =
A. 15 B. 3 C.    D. 
10.设函数  的部分图象如图所示,则 =
A.     B.  
C.     D. 1
11. 11.己知x,y满足约束条件 ,若z=ax+y的最大值为4,则a=
A.2         B.       C.-2     D.
12.设平行于x轴的直线 分别与函数 和 的图象相交于点A,B,若函数
 的图象上存在点C,使得△ABC为等边三角形,则这样的直线 
A.不存在 B.有且只有一条 C.至少有两条 D.有无数条
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分。把各题答案的最简形式写在题中的横线上。
13.已知数列{an}满足 ,Sn为{an}的前 n 项和,若 Sn= S10+12, 则 a1 =        .
存放温度x(℃) 10 4 -2 -8
存活率 (%)
20 44 56 80
14.某种活性细胞的存活率 (%)与存放温度 (℃)之间具有线性相关关系,样本数据如下表所示:


经计算得回归直线的斜率为-3.2。若存放温度为6℃,则这种细胞存活率的预报值为        % 。
15. 设点P为抛物线C:  与圆M:  的一个交点,F为抛物线C 的焦点,若|PF|=3,则圆M的半径为 .
16. 如图,在平面四边形ABCD中,AB丄AD,AB=AD=1,BC=CD=5,以直线AB 为轴,将四边形ABCD旋转一周,则所得旋转体的体积为      .

三、解答题:本大题共7个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第 17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22, 23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(本小题满分12分)
   在锐角△ABC中,角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知 .
(I) 求角B的值;
(II)设 ,若 ,求m的取值范围.
18.(本小题满分12分)
    如图,在平行四边形ABCD中,AB=2AD=4,∠BAD=60°,E为AB的中点,将△ADE 沿直线DE折起到APDE的位置,使平面PDE丄平面BCDE.
(I) 证明:CE丄平面PDE.
(II)设F为线段PC的中点,求四面体D—PEF的体积.


19.(本小题满分12分)
   某科研所共有30位科研员,其中60%的人爱好体育锻炼。经体检调查,这30位科研员的健康指数(百分制)如下茎叶图所示。体检评价标准指出:健康指数不低于70 者为身体状况好,健康指数低于70者为身体状况一般。
(I)根据以上资料完成下面的2×2列联表,并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”?
 身体状况好 身体状况一般 总计
爱好体育锻炼   
不爱好体育锻炼   
总计   30

(Ⅱ)现将30位科研员的健康指数分为如下5组:
      [50, 60), [60, 70),[70, 80), [80, 90),[90, 100),
其频率分布直方图如图所示。计算该所科研员健康指数的平均数,由茎叶图得到的真实值记为 ,由频率分布直方图得到的估计值记为  (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),求 与 的误差值;
(Ⅲ)从该科研所健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道,求这2人中爱好体育锻炼的人数的分布列和数学期望。

 
20. (本小题满分12分)
    如图,设椭圆中心在原点,焦点在x轴上,A B为椭圆长轴的两个端点,F为椭圆的
右焦点.已知椭圆的离心率为 ,且|AF|•|BFl =4.
 (I)求椭圆的标准方程;
(II)设M是椭圆上位于x轴上方的一个动点,直线AM,BM分别与直线x=6相交于D,E,求|DE|的最小值.


21.(本小题满分12分)
   已知函数 .
(I)若 在区间(0, +∞)内单调递减,求a的取值范围;
(Ⅱ)若a=e(e为自然对数的底数),证明:当x>0时, .
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
    在直角坐标系 中,已知曲线C的参数方程为  ( 为参数)。
(Ⅰ)以原点O为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线C的极坐标方程;
(Ⅱ)设A、B为曲线C上两动点,且OA丄OB,求|AB|的取值范围。
23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
   设函数 的最小值为m.
(Ⅰ)求不等式 <m的解集;
(Ⅱ)已知 |a|<  ,|b|< ,证明:|4ab-1 |>2|a-b|.
 

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