2018高三数学(理)阶段性测试(二模)试题(海南有答案)

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2018高三数学(理)阶段性测试(二模)试题(海南有答案)

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2018高三数学(理)阶段性测试(二模)试题(海南有答案)
海南省2017—2018学年高中毕业班阶段性测试
数学(理科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 , ,则 (   )
A.                      B.
C.                        D.
2.已知复数 满足 , 为 的共轭复数,则 (   )
A.                   B.             C.           D.
3.如图,当输出 时,输入的 可以是(   )
 
A.                 B.           C.         D.
4.已知 为锐角, ,则 的取值范围为(   )
A.                B.          C.          D.
5.把一枚质地均匀、半径为 的圆形硬币抛掷在一个边长为 的正方形托盘上,已知硬币平放在托盘上且没有掉下去,则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外)的概率为(   )
A.                   B.             C.            D.
6. 的展开式中, 的系数为(   )
A.                  B.             C.             D.
7.已知正项数列 满足 ,设 ,则数列 的前 项和为(   )
A.                                      B.
C.                                D.
8.如图,网格纸上正方形小格的边长为 ,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的最长棱的长度为(   )
 
A.                 B.            C.            D.
9.已知数列 的前 项和为 ,且满足 , ,则 (   )
A.                 B.           C.            D.
10.已知函数 是定义在 上的偶函数, ,当 时, ,若 ,则 的最大值是(   )
A.                 B.           C.        D.
11.已知抛物线 的焦点为 ,过点 作互相垂直的两直线 , 与抛物线分别相交于 , 以及 , ,若 ,则四边形 的面积的最小值为(   )
A.                     B.             C.          D.
12.已知 ,方程 与 的根分别为 , ,则 的取值范围为(   )
A.                        B.
C.                      D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知 , , ,且向量 , 的夹角是 ,则           .
14.已知实数 , 满足 ,则 的最大值是          .
15.已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,过 且垂直于 轴的直线与该双曲线的左支交于 , 两点, , 分别交 轴于 , 两点,若 的周长为 ,则 的最大值为          .
16.如图,在三棱锥 中, 平面 , ,已知 , ,则当 最大时,三棱锥 的表面积为          .
 
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.已知在 中, , , 分别为内角 , , 的对边,且  .
(1)求角 的大小;
(2)若 , ,求 的面积.
18.如图,在直三棱柱 中, , ,点 为 的中点,点 为 上一动点.
 
(1)是否存在一点 ,使得线段 平面 ?若存在,指出点 的位置,若不存在,请说明理由.
(2)若点 为 的中点且 ,求二面角 的正弦值.
19.某城市为鼓励人们绿色出行,乘坐地铁,地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策,不超过 站的地铁票价如下表:
乘坐站数 
 

票价(元) 
 
 

现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过 站.甲、乙乘坐不超过 站的概率分别为 , ;甲、乙乘坐超过 站的概率分别为 , .
(1)求甲、乙两人付费相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付费用之和为随机变量 ,求 的分布列和数学期望.
20.在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的离心率为 , , 分别为椭圆的上顶点和右焦点, 的面积为 ,直线 与椭圆交于另一个点 ,线段 的中点为 .
(1)求直线 的斜率;
(2)设平行于 的直线 与椭圆交于不同的两点 , ,且与直线 交于点 ,求证:存在常数 ,使得 .
21.已知函数 , .
(1)求函数 的单调区间;
(2)证明: .
(二)选考题:共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中,已知直线 : ( 为参数),以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的直角坐标方程;
(2)设点 的极坐标为 ,直线 与曲线 的交点为 , ,求 的值.
23.[选修4-5:不等式选讲]
已知函数 .
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若不等式 对 恒成立,求实数 的取值范围.
 
海南省2017—2018学年高中毕业班阶段性测试
数学(理科)•答案
一、选择题
1-5: DABCB      6-10: BCDAD     11、12:CA
二、填空
13.           14.            15.            16. 
三、解答题
17.(1)由  及正弦定理得,
  ,
即  ,
又 ,所以 ,
又 ,所以 .
(2)由(1)知 ,又 ,易求得 ,
在 中,由正弦定理得 ,所以 .
所以 的面积为  .
18.(1)存在点 ,且 为 的中点.
证明如下:
如图,连接 , ,点 , 分别为 , 的中点,
所以 为 的一条中位线, ,
 平面 , 平面 ,所以 平面 .
 
(2)设 ,则 ,  ,
 ,
由 ,得 ,解得 .
由题意以点 为坐标原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,可得 , , , ,
故 , , , ,.
设 为平面 的一个法向量,则
 得
令 ,得平面 的一个法向量 ,
同理可得平面 的一个法向量为 ,
故二面角 的余弦值为  .
故二面角 的正弦值为 .
 
19.(1)由题意知甲乘坐超过 站且不超过 站的概率为 ,
乙乘坐超过 站且不超过 站的概率为 ,
设“甲、乙两人付费相同”为事件 ,
则  ,
所以甲、乙两人付费相同的概率是 .
(2)由题意可知 的所有可能取值为: , , , , .
 ,
  ,
  ,
 .
因此 的分布列如下:
 
 
 

所以 的数学期望   .
20.(1)因为椭圆的离心率为 ,所以 ,即 , ,
所以 , ,所以 ,所以 ,所以椭圆的方程为 .
直线 的方程为 ,联立 消去 得 ,所以 或 ,
所以 ,从而得线段 的中点 .
所以直线 的斜率为 .
(2)由(1)知,直线 的方程为 ,直线 的斜率为 ,设直线 的方程为 .
联立 得 所以点的坐标为 .
所以 , .
所以 .
联立 消去 得 ,
由已知得 ,又 ,得 .
设 , ,则 , ,
 , .
所以  ,
 ,
故       .
所以 .所以存在常数 ,使得 .
21.(1)由题易知 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
(2) 的定义域为 ,要证 ,即证 .
由(1)可知 在 上递减,在 上递增,所以 .
设 , ,因为 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 ,
而 ,所以 .
22.(1)把 展开得 ,
两边同乘 得 ①.
将 , , 代入①即得曲线 的直角坐标方程为 ②.
(2)将 代入②式,得 ,
易知点 的直角坐标为 .
设这个方程的两个实数根分别为 , ,则由参数 的几何意义即得 .
23.(1)当 时,原不等式可化为 .
若 ,则 ,即 ,解得 ;
若 ,则原不等式等价于 ,不成立;
若 ,则 ,解得 .
综上所述,原不等式的解集为: .
(2)由不等式的性质可知  ,
所以要使不等式 恒成立,则 ,
所以 或 ,解得 ,
所以实数 的取值范围是 .
 

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