2018年高考数学一轮复习(文科)训练题:仿真考四(有答案)

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2018年高考数学一轮复习(文科)训练题:仿真考四(有答案)

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5 Y k j.CoM 仿真考(四) 高考仿真模拟冲刺卷(D)
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2018•重庆第八中学二调)已知全集U=R,集合A={x∈R||x-1|<1},B={y∈R|y=2x+1,x∈R},则A∩(∁UB)=(  )
A.(0,2)  B.[1,2)
C.(0,1]    D.(0,1)
答案:C
解析:由题意,得A={x|0<x<2},B={y|y>1},则A∩(∁UB)={x|0<x≤1}=(0,1].故选C.
2.(2018•东北三校联考二)已知复数z=2-1+i,则(  )
A.z的模为2     B.z的实部为1
C.z的虚部为-1  D.z的共轭复数为1+i
答案:C
解析:根据题意可知,2-1+i=2-1-i2=-1-i,所以z的虚部为-1,实部为-1,模为2,z的共轭复数为-1+i,故选C.
3.(2018•河南郑州、平顶山、濮阳第二次质量预测二模)下列命题是真命题的是(  )
A.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数
B.∃α,β∈R,使cos(α+β)=cosα+cosβ
C.向量a=(2,1),b=(-1,0),则a在b方向上的投影为2
D.“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分也不必要条件
答案:B
解析:当φ=kπ+π2(k∈Z)时,函数f(x)=sin(2x+φ)是偶函数,故选项A中的命题是假命题.当α=π3,β=-π3时,cos(α+β)=cosα+cosβ,故选项B中的命题是真命题.由a=(2,1),b=(-1,0),得a在b方向上的投影为a•b|b|=-21=-2,故选项C中的命题是假命题.|x|≤1⇔-1<x<1,所以“|x|≤1”是“x≤1”的充分不必要条件,故选项D中的命题是假命题.综上,应选B.
4.(2018•福建晋江季延中学模拟)若1a<1b<0,则下列四个不等式:
①a+b<ab;②|a|<|b|;③a>b;④ba+ab>2.
其中一定成立的不等式个数为(  )
A.1  B.2
C.3  D.4
答案:D
解析:①因为1a<1b<0,所以b<a<0,所以a+b<0,ab>0,故①成立.②因为 b<a<0,所以|a|<|b|,故②成立.③明显成立.④因为a,b<0,所以ba,ab>0,由基本不等式得ba+ab≥2ba•ab,当且仅当a=b时等号成立,而题目条件限定a≠b,故ba+ab>2,所以④成立.综上所述,四个不等式都成立,故选D.
5.(2018•合肥三模)某品牌饮料瓶可以看作是由一个半球和一个圆台组成,其三视图如图所示,则该饮料瓶的表面积为(  )
 
A.81π           B.125π
C.(41+7145)π  D.(73+7145)π
答案:C
解析:由三视图可知,圆台的上、下底面半径分别为r=3,R=4,高h=12,半球的底面半径R=4,所以半球的表面积S1=12×4πR2=2πR2=2π×42=32π;圆台的母线长l=R-r2+h2=4-32+122=145,圆台的侧面积S2=π(r+R)l=π(3+4)×145=7145π,圆台的上底面面积S3=πr2=π×32=9π.所以该饮料瓶的表面积S=S1+S2+S3=32π+7145π+9π=(41+7145)π.故选C.
6.(2017•天津卷,3)阅读下面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为(  )
 
A.0  B.1
C.2  D.3
答案:C
解析:第一次循环执行条件语句,此时N=24,24能被3整除,则N=24÷3=8.
∵ 8≤3不成立,∴ 进入第二次循环执行条件语句,此时N=8,8不能被3整除,则N=8-1=7.
∵ 7≤3不成立,∴ 进入第三次循环执行条件语句,此时N=7,7不能被3整除,则N=7-1=6.
∵ 6≤3不成立,∴ 进入第四次循环执行条件语句,此时N=6,6能被3整除,则N=6÷3=2.
∵ 2≤3成立,∴ 此时输出N=2.
故选C.
7.(2018•广州毕业班测试(二))函数f(x)=ln(|x|-1)+x的大致图象是(  )
 
答案:A
解析:本题考查函数的图象.函数f(x)=ln(|x|-1)+x,当x>1时,f(x)=ln(x-1)+x,易知函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,观察各选项只有A选项符合题意,故选A.
8.(2018•潍坊二模)已知圆C:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-1=0(a<0)的圆心在直线3x-y+3=0上,且圆C上的点到直线3x+y=0的距离的最大值为1+3,则a2+b2的值为(  )
A.1  B.2
C.3  D.4
答案:C
解析:化圆C:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-1=0(a<0)为标准方程得C:(x-a)2+(y-b)2=1,其圆心为(a,b),故3a-b+3=0,即b=3a+3,(a,b)到直线3x+y=0的距离d=|3a+b|3+1=|3a+b|2=|3a+3a+3|2,因为圆C上的点到直线3x+y=0的距离的最大值为1+3,故d+1=|3a+3a+3|2+1=1+3,得到|2a+1|=2,解得a=-32或a=12(舍去),故b=3×-32+3=-32,故a2+b2=-322+-322=3.选C.
9.(2018•泉州一模)若存在常数k(k∈N*,k≥2),q,d,使得无穷数列{an}满足an+1=an+d,nk∉N*,qan,nk∈N*,则称数列{an}为“段比差数列”,其中常数k,q,d分别叫做段长、段比、段差.设数列{bn}为“段比差数列”.若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,则b2 016=(  )
A.3  B.4
C.5  D.6
答案:D
解析:解法一:∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,∴b2 014=0×b2 013=0,∴b2 015=b2 014+3=3,∴b2 016=b2 015+3=6.故选D.
解法二:∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,∴b1=1,b2=4,b3=7,b4=0×b3=0,b5=b4+3=3,b6=b5+3=6,b7=0×b6=0,……,∴当n≥4时,{bn}是周期为3的周期数列.∴b2 016=b6=6.故选D.
10.(2018•济南模拟(一))中国诗词大会的播出引发了全民的读书热,某小学语文老师在班里开展了一次诗歌默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图,若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号,其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生,则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为(  )
 
A.2  B.4
C.6  D.8
答案:B
解析:本题考查茎叶图、抽样方法.由茎叶图得班里40名学生中,获得“诗词达人”称号的有8人,获得“诗词能手”称号的有16人,获得“诗词爱好者”称号的有16人,则由分层抽样的概念得选取的10名学生中,获得“诗词能手”称号的人数为10×1640=4,故选B.
11.(2018•湖南长沙长郡中学摸底)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π,且其图象向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)=cosωx的图象,则函数f(x)的图象(  )
A.关于直线x=π12对称
B.关于直线x=5π12对称
C.关于点π12,0对称
D.关于点5π12,0对称
答案:C
解析:由题意T=2πω=π,得ω=2,把g(x)=cos2x的图象向右平移π3个单位长度得f(x)=cos2x-π3=cos2x-2π3=sinπ2-2x+2π3=sin-2x+7π6=sin2x-π6的图象,fπ12=0,f5π12=32,因此函数f(x)的图象关于点π12,0对称.故选C.
12.(2018•云南曲靖一中月考(四))已知函数f(x)=ax,x<0,a-3x+4a,x≥0满足对任意x1≠x2,都有fx1-fx2x1-x2<0成立,则实数a的取值范围是(  )
A.0,14  B.(1,2]
C.(1,3)  D.12,1
答案:A
解析:由fx1-fx2x1-x2<0,得f(x)在定义域上是减函数,所以0<a<1,a-3<0,4a≤1,解得0<a≤14,所以a∈0,14.故选A.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在相应题号后的横线上.
13.在平面直角坐标系xOy中,已知角α的顶点和点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点M的坐标为(1,3),则tanα+π4=________.
答案:-2-3
解析:依题意得tanα=3,tanα+π4=tanα+11-tanα=3+11-3=-2-3.
14.(2018•江西吉安一中第三次考试)已知函数f(x)=ex,x≥0,lg-x,x<0,若关于x的方程f2(x)+f(x)+t=0有三个不同的实根,则实数t的取值范围为________.
答案:(-∞,-2]
解析:原问题等价于f2(x)+f(x)=-t有三个不同的实根,即直线y=-t与y=f2(x)+f(x)的图象有三个不同的交点.当x≥0时,y=f2(x)+f(x)=e2x+ex为增函数,在x=0处取得最小值为2,其图象与直线y=-t只有一个交点.当x<0时,y=f2(x)+f(x)=lg2(-x)+lg(-x),根据复合函数的单调性,其在(-∞,0)上先减后增.所以要使函数的图象有三个不同交点,只需-t≥2,解得t≤-2.
15.已知函数f(x)=sinx+cosx,若f′(x)为其导函数,则函数g(x)=f(x)•f′(x)的最小值为________.
答案:-1
解析:由题意知f′(x)=cosx-sinx,所以g(x)=(sinx+cosx)•(cosx-sinx)=cos2x-sin2x=cos2x,因而其最小值为-1.
16.(2018•重庆高考一模)设抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作直线l与抛物线分别交于两点A,B.若点M满足OM→=12(OA→+OB→),过点M作y轴的垂线与抛物线交于点P.若|PF|=2,则点M的横坐标为________.
答案:3
解析:由题意可知,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,M是线段AB的中点.
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1),将直线方程代入抛物线方程消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=2+4k2,x1•x2=1.
设P(x0,y0),则y0=12(y1+y2)=12[k(x1-1)+k(x2-1)]=2k,∴x0=1k2,∴P1k2,2k.
∵|PF|=x0+1=1k2+1=2,∴k2=1,∴点M的横坐标为3.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(一)必考题:共60分
17.(本小题满分12分)
(2018•福建福州模拟)
 
如图,在△ABC中,AB=2,cosB=13,点D在线段BC上.
(1)若∠ADC=34π,求AD的长;
(2)若BD=2DC,△ACD的面积为432,求sin∠BADsin∠CAD的值.
解析:(1)在△ABC中,∵cosB=13,∴sinB=223.
∵∠ADC=34π,∴∠ADB=π4.
在△ABD中,由正弦定理可得AD223=222,∴AD=83.
(2)设DC=a,则BD=2a.
∵BD=2DC,△ACD的面积为432,∴S△ABC=3S△ACD,则
42=12×2×3a×223,∴a=2.
∴AC=4+36-2×2×6×13=42.
由正弦定理可得4sin∠BAD=2sin∠ADB,
∴sin∠BAD=2sin∠ADB.
又∵2sin∠CAD=42sin∠ADC,
∴sin∠CAD=24sin∠ADC.
∵sin∠ADB=sin∠ADC,∴sin∠BADsin∠CAD=42.
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
 
(1)求证:DC⊥平面PAC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
解析:(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC,
AC∩PC=C,所以DC⊥平面PAC.
(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,
所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥AB.
又AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC.
又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:
取PB中点F,连接EF,CE,CF.
 
又因为E为AB的中点,
所以EF∥PA.
又因为PA⊄平面CEF,
所以PA∥平面CEF.
19.(本小题满分12分)
(2018•江西新余一中第七次模拟)某汽车美容公司为吸引顾客,推出优惠活动:对首次消费的顾客,按200元/次收费,并注册成为会员,对会员逐次消费给予相应优惠,标准如下表:
消费次数 第1次 第2次 第3次 第4次 5次及以上
收费比例 1 0.95 0.90 0.85 0.80
该公司从注册的会员中,随机抽取了100位进行统计,得到统计数据如下表:
消费次数 第1次 第2次 第3次 第4次 5次及以上
频数 60 20 10 5 5
假设汽车美容一次,公司成本为150元,根据所给数据,解答下列问题:
(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率;
(2)某会员仅消费两次,求这两次消费中,公司获得的平均利润;
(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人,再从这8人中抽出2人发放纪念品,求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率.
解析:(1)100位会员中,至少消费两次的会员有40位,所以估计一位会员至少消费两次的概率为40100=0.4.
(2)该会员第1次消费时,公司获得的利润为200-150=50(元),
第2次消费时,公司获得的利润为200×0.95-150=40(元),所以,公司获得的平均利润为50+402=45(元).
(3)因为201055=4211,所以用分层抽样方法抽出的8人中,消费2次的有4人,分别设为A1,A2,A3,A4,消费3次的有2人,分别设为B1,B2,消费4次和5次及以上的各有1人,分别设为C,D,从中抽出2人,抽到A1的有A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A1C,A1D,共7种;
去掉A1后,抽到A2的有A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A2C,A2D,共6种;
……
去掉A1,A2,A3,A4,B1,B2后,抽到C的有:CD,共1种,总的抽取方法有7+6+5+4+3+2+1=28种,
其中恰有1人消费两次的抽取方法有4+4+4+4=16种,
所以,抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为1628=47.
20.(本小题满分12分)
(2018•贵州遵义四中第一次月考)设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
解析:(1)∵M是C上一点且MF2与x轴垂直,∴M的横坐标为c.
当x=c时,y=±b2a,由直线MN的斜率为34,得Mc,b2a,即tan∠MF1F2=b2a2c=b22ac=34,即b2=32ac=a2-c2,即c2+32ac-a2=0,则e2+32e-1=0,即2e2+3e-2=0,解得e=12或e=-2(舍去),即e=12.
(2)由题意,原点O是F1F2的中点,则直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,设M(c,y0)(y0>0),则c2a2+y20b2=1,即y20=b4a2,解得y0=b2a.
∵OD是△MF1F2的中位线,∴b2a=4,即b2=4a,由|MN|=5|F1N|,
得|MF1|=4|F1N|,解得|DF1|=2|F1N|,即DF1→=2F1N→.
设N(x1,y1),由题意知y1<0,则(-c,-2)=2(x1+c,y1).
即2x1+c=-c,2y1=-2,解得x1=-32c,y1=-1,代入椭圆方程得9c24a2+1b2=1,
将b2=4a代入得9a2-4a4a2+14a=1,解得a=7,b=27.
21.(本小题满分12分)
(2018•安徽淮北一中四模)已知函数f(x)=lnx-a(x+1)(a∈R).
(1)若a>1,且a∈N*,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l与x轴、y轴的交点坐标为A(x0,0),B(0,y0),当1x20+1y20取得最小值时,求切线l的方程;
(2)若不等式f(x)+2a<0对任意x∈(1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
解析:(1)f′(x)=1x-a,切线l的斜率k=f′(1)=1-a,切点为(1,-2a),∴切线l的方程为y+2a=(1-a)(x-1).
分别令y=0,x=0,得切线l与x轴、y轴的交点坐标为Aa+11-a,0,B(0,-1-a),∴x0=a+11-a,y0=-1-a,
∴1x20+1y20=a-12+1a+12=a+12-4a+1+5a+12=5a+12-4a+1+1.
当1a+1=--42×5=25,即a=32时,1x20+1y20取得最小值.
∵a>1且a∈N*,∴当a=2时,1x20+1y20取得最小值.
此时,切线l的方程为y+4=(1-2)(x-1),即x+y+3=0.
(2)设g(x)=f(x)+2a=lnx-a(x+1)+2a,则
g′(x)=1x-a=-ax-1x.
①当a≤0时,∵x∈(1,+∞),∴g′(x)>0,∴g(x)在(1,+∞)上单调递增,∴g(x)>g(1)=0,∴a≤0不符合题意.
②当0<1a≤1,即a≥1时,g′(x)=-ax-1x=-ax-1ax<0在(1,+∞)上恒成立,∴g(x)在(1,+∞)上单调递减,于是g(x)<g(1)=0,∴a≥1满足题意.
③当1a>1,即0<a<1时,由g′(x)>0,可得1<x<1a,由g′(x)<0,可得x>1a,∴g(x)在1,1a上单调递增,在1a,+∞上单调递减,∴g1a>g(1)=0,∴0<a<1不符合题意.
综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞).
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)
(2017•新课标全国卷Ⅲ,22)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为x=2+t,y=kt(t为参数),直线l2的参数方程为x=-2+m,y=mk(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-2=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
解析:(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);
消去参数m得l2的普通方程l2:y=1k(x+2).
设P(x,y),由题设得y=kx-2,y=1kx+2,
消去k得x2-y2=4(y≠0),
所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π),
联立ρ2cos2θ-sin2θ=4,ρcos θ+sin θ-2=0得
cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故tan θ=-13,从而cos2θ=910,sin2θ=110.
代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,
所以交点M的极径为5.
23.(本小题满分10分)
(2017•江苏卷,21D)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd≤8.
证明:由柯西不等式,得(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
因为a2+b2=4,c2+d2=16,
所以(ac+bd)2≤64,
因此ac+bd≤8. 文
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