2018届高考数学(文)第二次模拟考试题(枣庄市有答案)

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2018届高考数学(文)第二次模拟考试题(枣庄市有答案)

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文 章来
源莲山 课
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2018届高三模拟考试
文科数学
第Ⅰ卷(选择题  共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ,则 (   )
A.            B.          C.         D.
2.已知复数 ( 是虚数单位),则 (   )
A.                 B.              C.            D.
3.已知 , , ,则 , , 的大小关系是(   )
A.          B.        C.        D.
4.下图给出的是计算 值的程序框图,其中判断框内可填入的条件是(   )
 
A.            B.        C.        D.
5.已知 是偶函数,则 (   )
A.                    B.               C.               D.
6.已知 的内角 , , 的对边分别为 , , ,若  ,则 (   )
A.                B.            C.          D.
7.七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是(   )
 
A.                B.            C.           D.
8.已知 ,则 (   )
A.               B.            C.          D.
9.函数 的大致图象为(   )
            
       A.                 B.                 C.                  D.
10.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是等腰三角形,则该几何体的体积为(   )
 
A.                  B.              C.          D.
11.设 、 是椭圆 : 的两个焦点,若 上存在点 满足 ,则 的取值范围是(   )
A.                               B.
C.                               D.
12.已知函数  的图象关于点 对称,则 在 上的最大值为(   )
A.                B.           C.          D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13 已知实数 , 满足 ,则 的最大值为          .
14.在平行四边形 中, , ,则           .
15.已知圆 与直线 及 都相切,圆心在直线 上,则圆 的标准方程为          .
16.已知  ,若函数 图象的任何一条对称轴与 轴交点的横坐标都不属于区间 ,则 的取值范围是          .(结果用区间表示)
三、解答题:本大题共6小题,共70分.
17.已知数列 的前 项和 .
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)设 ,求数列 的前 项和.
18.在四棱锥 中,底面 为矩形,平面 平面 ,平面 平面 ,且 .
 
(Ⅰ)证明: 平面 ;
(Ⅱ)若 为 的中点,三棱锥 的体积为 ,求四棱锥 外接球的表面积.
19.随着高校自主招生活动的持续开展,我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度,从甲、乙两所高中各随机抽取了 名学生,记录他们在一周内平均每天学习数学的时间,并将其分成了 个区间: 、 、 、 、 、 ,整理得到如下频率分布直方图:
 
根据一周内平均每天学习数学的时间 ,将学生对于数学的喜好程度分为三个等级:
学习时间(分钟/天) 
 
 

喜好等级 一般 爱好 痴迷
(Ⅰ)试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数 (精确到 );
(Ⅱ)判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的 名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值 与 及方差 与 的大小关系(只需写出结论),并计算其中的 、 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅲ)从甲高中与乙高中随机抽取的 名同学中数学喜好程度为“痴迷”的学生中随机抽取 人,求选出的 人中甲高中与乙高中各有 人的概率.
20.已知抛物线 : 上的点 到其焦点 的距离为 .
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ)已知直线 不过点 且与 相交于 , 两点,且直线 与直线 的斜率之积为 ,证明: 过定点.
21.已知曲线 与 轴有唯一公共点 .
(Ⅰ)求实数 的取值范围;
(Ⅱ)曲线 在点 处的切线斜率为 .若两个不相等的正实数 , 满足 ,求证: .
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),直线 的参数方程为 ( 为参数).
(Ⅰ)若 ,求直线 被曲线 截得的线段的长度;
(Ⅱ)若 ,在曲线 上求一点 ,使得点 到直线 的距离最小,并求出最小距离.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数 .
(Ⅰ)当 时,求不等式 的解集;
(Ⅱ)设函数 .当 时, 恒成立,求实数 的取值范围.
 
2018届高三模拟考试
数学(文科)参考答案
一、选择题
1-5: ACBDA      6-10: BCBAD     11、12:AD
二、填空
13.           14.            15.            16. 
三、解答题
17.(Ⅰ)解: .
当 时,  .
又 符合 时 的形式,所以 的通项公式为 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知  .
数列 的前 项和为
 
 .
18.(Ⅰ)证明:由底面 为矩形,得 .
又平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ,
所以 平面 .所以 .
同理可得 .
又 , 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
(Ⅱ)解:设 ,则 , .
 
 
 .
又 ,所以 .解得 .
四棱锥 的外接球是以 、 、 为棱的长方体的外接球,设半径为 .
则  ,即 .
所以,四棱锥 的外接球的表面积为 .
 
19. 解:(Ⅰ)由样本估计总体的思想,甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数  ;
(Ⅱ) ; ;
  ;
  
  
 .
(Ⅲ)甲高中随机选取的 名学生中“痴迷”的学生有 人,记为 , ;乙高中随机选取的 名学生中“痴迷”的学生有 人,记为 , , , , , .
随机选出 人有以下 种可能:
 , , , , , , ,
 , , , , , , ,
 , , , , , , ,
 , , , , , , ,
甲、乙两所高中各有 人,有以下 种可能:
 , , , , , ,
 , , , , , .
所以,从甲、乙两所高中数学喜好程度为“痴迷”的同学中随机选出 人,选出的 人中甲、乙两所高中各有 人的概率为 .
20.解:(Ⅰ)由题意,得 ,即 .
由抛物线的定义,得 .
由题意, .解得 ,或 (舍去).
所以 的方程为 .
(Ⅱ)证法一:设直线 的斜率为 (显然 ),则直线 的方程为 ,则 .
由 消去 并整理得  .
设 ,由韦达定理,得 ,即 .
  .所以 .
由题意,直线 的斜率为 .
同理可得 ,即 .
若直线 的斜率不存在,则 .解得 ,或 .
当 时,直线 与直线 的斜率均为 , , 两点重合,与题意不符;
当 时,直线 与直线 的斜率均为 , , 两点重合,与题意不符.
所以,直线 的斜率必存在.
直线 的方程为  ,即 .
所以直线 过定点 .
证法二:由(1),得 .
若 的斜率不存在,则 与 轴垂直.
设 ,则 , .
则   .
( ,否则, ,则 ,或 ,直线 过点 ,与题设条件矛盾)
由题意, ,所以 .这时 , 两点重合,与题意不符.
所以 的斜率必存在.
设 的斜率为 ,显然 ,设 : ,
由直线 不过点 ,所以 .
由 消去 并整理得 .
由判别式 ,得 .
设 , ,则 ①, ②,
则   .
由题意, .
故  ③
将①②代入③式并化简整理得 ,即 .
即 ,即 .
又 ,即 ,所以 ,即 .
所以 : .显然 过定点 .
证法三:由(1),得 .
设 : ,由直线 不过点 ,所以 .
由 消去 并整理得 .
由题意,判别式 .
设 , ,则 ①, ②
则   .
由题意, ,即 ③
将①②代入③式得 ,即 .
所以 : .显然 过定点 .
21.(Ⅰ)解:函数 的定义域为 . .
由题意,函数 有唯一零点 . .
(1)若 ,则 .
显然 恒成立,所以 在 上是增函数.
又 ,所以 符合题意.
(2)若 , . ; .
所以 在 上是减函数,在 上是增函数.
所以  .
由题意,必有 (若 ,则 恒成立, 无零点,不符合题意)
①若 ,则 .
令 ,则  .
 ; .
所以函数 在 上是增函数,在 上是减函数.
所以 .所以 ,当且仅当 时取等号.
所以, ,且 .
取正数 ,则  ;
取正数 ,显然 .而 ,
令 ,则 .当 时,显然 .
所以 在 上是减函数.
所以,当 时,  ,所以 .
因为 ,所以   .
又 在 上是减函数,在 上是增函数,
则由零点存在性定理, 在 、 上各有一个零点.
可见, ,或 不符合题意.
注: 时,若利用 , , ,说明 在 、 上各有一个零点.
②若 ,显然 ,即 .符合题意.
综上,实数 的取值范围为 .
(Ⅱ)由题意, .所以 ,即 .
由(Ⅰ)的结论,得 .
 , 在 上是增函数.
 ; .
由 ,不妨设 ,则 .
从而有 ,即 .
所以  .
令 ,显然 在 上是增函数,且 .
所以 .
从而由 ,得 .
22.选修4-4:坐标系与参数方程
解:(1)曲线 的普通方程为 .
当 时,直线 的普通方程为 .
由 .解得 或 ,
直线 被曲线 截得的线段的长度为 .
(2)解法一: 时,直线 的普通方程为 .
由点到直线的距离公式,椭圆 上的点 到直线 : 的距离为
 
 
 ,
其中 满足 , .
由三角函数性质知,当 时, 取最小值 .
此时, , .
因此,当点 位于 时,点 到 的距离取最小值 .
解法二:当 时,直线 的普通方程为 .
设与 平行,且与椭圆 相切的直线 的方程为 .
由 消去 并整理得 .
由判别式 ,解得 .
所以,直线 的方程为 ,或 .
要使两平行直线 与 间的距离最小,则直线 的方程为 .
这时, 与 间的距离  .
此时点 的坐标为方程组 的解 .
因此,当点 位于 时,点 到直线 的距离取最小值 .
23.选修4-5:不等式选讲
解:(1)当 时, .
由 ,解得 .
所以,不等式 的解集为 .
(2) 
 
 (当且仅当 时取等号)
 (当且仅当 时取等号)
 .
综上,当 时, 有最小值 .
故由题意得 ,解得 ,或 .
所以,实数 的取值范围为 .

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