2018年高考数学一轮复习(文科)天天练训练题13 (附答案)

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2018年高考数学一轮复习(文科)天天练训练题13 (附答案)

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天天练13 三角函数的图象与变换
一、选择题
 
1.(2018•四川绵阳二诊)如图是函数f(x)=cos(πx+φ)0<φ<π2的部分图象,则f(3x0)=(  )
A.12  B.-12
C.32  D.-32
答案:D
解析:∵f(x)=cos(πx+φ)的图象过点0,32,∴32=cosφ,结合0<φ<π2,可得φ=π6.∴由图象可得cosπx0+π6=32,πx0+π6=2π-π6,解得x0=53.
∴f(3x0)=f(5)=cos5π+π6=-32.故选D.
2.(2017•新课标全国卷Ⅲ,6)设函数f(x)=cosx+π3,则下列结论错误的是(  )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称
C.f(x+π)的一个零点为x=π6
D.f(x)在π2,π单调递减
答案:D
解析:本题考查余弦函数的图象和性质.
f(x)的最小正周期为2π,易知A正确;f8π3=cos83π+π3=cos3π=-1,为f(x)的最小值,故B正确;∵f(x+π)=cosx+π+π3=-cosx+π3,∴fπ6+π=-cosπ6+π3=-cosπ2=0,故C正确;由于f2π3=cos2π3+π3=cosπ=-1,为f(x)的最小值,故f(x)在π2,π上不单调,故D错误.
3.(2018•合肥一模)已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π,若其图象向左平移π3个单位长度后关于y轴对称,则(  )
A.ω=2,φ=π3  B.ω=2,φ=π6
C.ω=4,φ=π6  D.ω=2,ω=-π6
答案:D
解析:由已知条件得,π=2πω,因而ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),将f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)=sin2x+π3+φ=sin2x+2π3+φ的图象,由题意知g(x)为偶函数,则2π3+φ=π2+kπ,k∈Z,即φ=kπ-π6,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=-π6.
4.将函数y=sin4x-π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移π4个单位长度,所得函数图象的一条对称轴是(  )
A.x=π6   B.x=π3
C.x=5π12  D.x=-5π12
答案:D
解析:将函数y=sin4x-π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得函数y=sin2x-π6的图象,再向左平移π4个单位长度,得函数y=sin2x+π4-π6=sin2x+π3的图象,结合选项知,只有D选项代入有y=sin2×-5π12+π3=sin-π2=-1,因此x=-5π12是所得函数图象的一条对称轴.故选D.
5.(2018•河北张家口期末)已知ω>0,在函数y=4sinωx与y=4cosωx的图象的交点中,距离最近的两个交点的距离为6,则ω的值为(  )
A.π6  B.π4
C.π3  D.π2
答案:D
解析:∵函数y=4sinωx与y=4cosωx的图象有交点,∴根据三角函数线可得出交点为k1π+π4ω,22或k2π+5π4ω,-22,k1,k2都为整数.∵距离最短的两个交点的距离为6,∴这两个交点在同一周期内,∴36=1ω25π4-π42+(-22-22)2,解得ω=π2.
6.(2018•河南八市重点高中第三次测评)函数f(x)=4x-3tanx在-π2,π2上的图象大致为(  )
 
答案:D
解析:因为函数f(x)=4x-3tanx是奇函数,排除B、C;通过特殊值fπ4=π-3>0,且fπ3=4π3-33=4π-933<0,故选D.
7.(2018•武汉二模)已知f(x)=3sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于π2,0对称,则函数f(x)在区间-π4,π6上的最小值为(  )
A.-1  B.-3
C.-12  D.-32
答案:B
解析:由已知得f(x)=2sin2x+θ+π6,令2x+θ+π6=kπ,k∈Z,其中x=π2为方程的一个解,代入得θ=(k-1)π-π6,k∈Z,又0<θ<π,所以θ=5π6,因而f(x)=-2sin2x,又f(x)在-π4,π6上单调递减,所以f(x)的最小值为fπ6=-3.
8.已知函数f(x)=2sinωx+φ-π6(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.若将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)在下列区间上是减函数的是(  )
A.-2π3,2π3  B.[0,π]
C.[2π,3π]  D.2π3,π
答案:D
解析:因为f(x)为偶函数,所以φ-π6=π2+kπ,k∈Z,故φ=2π3+kπ,k∈Z.
又0<φ<π,故φ=2π3,所以f(x)=2sinωx+π2=2cosωx.
由题意得2πω=2•π2,所以ω=2,故f(x)=2cos2x.
将f(x)的图象向右平移π6个单位后,得到fx-π6的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到fx4-π6的图象,
所以g(x)=fx4-π6=2cos2x4-π6=2cosx2-π3.
令2kπ≤x2-π3≤2kπ+π(k∈Z),可得4kπ+2π3≤x≤4kπ+8π3(k∈Z).
故函数g(x)在4kπ+2π3,4kπ+8π3(k∈Z)上是减函数,结合选项即得选D.
二、填空
9.已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π3的交点,则φ=________.
答案:π6
解析:两图象交点的横坐标为π3,有等式cosπ3=sin2×π3+φ成立,由φ的条件可知φ=π6.
10.(2018•保定二模)已知函数f(x)=3sinωx-π6(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈0,π2,则f(x)的取值范围是________.
答案:-32,3
解析:由两个三角函数的图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故ω=2,所以f(x)=3sin2x-π6,当x∈0,π2时,-π6≤2x-π6≤5π6,所以-12≤sin2x-π6≤1,故f(x)∈-32,3.
11.给出下列命题:
(1)终边在y轴上的角的集合是α|α=kπ2,k∈Z;
(2)把函数f(x)=2sin2x的图象沿x轴方向向左平移π6个单位后,得到的函数解析式可以表示成f(x)=2sin2x+π6;
(3)函数f(x)=12sinx+12sinx的值域是[-1,1];
(4)已知函数f(x)=2cosx,若存在实数x1,x2,使得对任意的实数x都有fx1≤f(x)≤fx2成立,则x1-x2的最小值为2π.
其中正确的命题的序号为________.
答案:(2)
解析:对(1)当k=2时α=π,其终边在x轴上,所以不对;对(2)由三角函数的变换可知正确;对(3)f(x)=12sinx+12|sinx|=sinx,sinx≥00,sinx<0,所以函数f(x)的值域为[0,1],所以不对;对(4)当x1=0,x2=π时满足题意,此时|x1-x2|=π,所以(4)不对.
三、解答题
12.(2018•安徽示范中学二模)已知a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),f(x)=2a•b.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)若g(x)=f(x),x∈-π2,π2,画出函数y=g(x)的图象,讨论y=g(x)-m(m∈R)的零点个数.
 
解:(1)∵f(x)=2a•b=2sin2x+2sinxcosx=sin2x-cos2x+1=2sin2x-π4+1,
∴函数f(x)的最小正周期T=π,最大值为f(x)max=2+1.
(2)g(x)=f(x),x∈-π2,π2,利用“五点法”列表为:
x -π2
-3π8
-π8
π8
3π8
π2

2x-π4
-5π4
-π -π2
0 π2
3π4

sin2x-π4
22
0 -1 0 1 22

y=2sin2x-π4+1
2 1 1-2
1 1+2
2
描点作图如下.
 
函数y=g(x)-m(m∈R)的零点个数,即函数y=g(x)的图象与直线y=m的交点个数.
由图可知,当m<1-2或m>1+2时,无零点;
当m=1-2或m=1+2时,有1个零点;
当1-2<m<2或2<m<1+2时,有2个零点;
当m=2时,有3个零点.

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