2018高考数学一轮复习(文科)训练天天练 30(有答案和解释)

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2018高考数学一轮复习(文科)训练天天练 30(有答案和解释)

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天天练30 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系
             

一、选择题
1.(2018•河南天一大联考段考)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为(  )
A.(x-1)2+(y-1)2=5 
B.(x+1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+y2=5 
D.x2+(y-1)2=5
答案:A
解析:由题意,圆心在直线2x-y-1=0上,将点(a,1)代入可得a=1,即圆心为(1,1),半径为r=|2-1+4|5=5,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5,故选A.
2.(2018•长春二模)圆(x-2)2+y2=4关于直线y=33x对称的圆的方程是(  )
A.(x-3)2+(y-1)2=4
B.(x-2)2+(y-2)2=4
C.x2+(y-2)2=4
D.(x-1)2+(y-3)2=4
答案:D
解析:设圆(x-2)2+y2=4的圆心关于直线y=33x对称的点的坐标为A(a,b),则ba-2•33=-1,b2=33•a+22,∴a=1,b=3,∴A(1,3),从而所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=4.故选D.
3.已知直线y=kx+3与圆x2+y2-6x-4y+5=0相交于M,N两点,若|MN|=23,则k的值是(  )
A.1或2  B.1或-1
C.-2或12  D.2或12
答案:C
解析:由已知得圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=8,则该圆的圆心为(3,2),半径为22.设圆心到直线y=kx+3的距离为d,则23=28-d2,解得d=5,即|3k-2+3|1+k2=5,解得k=-2或12.故选C.
4.(2018•大连一模)直线4x-3y=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得的弦长为(  )
A.6  B.3
C.62  D.32
答案:A
解析:假设直线4x-3y=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得的弦为AB.∵圆的半径r=10,圆心到直线的距离d=5-32+42=1,∴弦长|AB|=2×r2-d2=210-1=2×3=6.故选A.
5.(2018•安徽黄山屯溪一中第二次月考)若曲线x2+y2-6x=0(y>0)与直线y=k(x+2)有公共点,则k的取值范围是(  )
A.-34,0  B.0,34
C.0,34  D.-34,34
答案:C
解析:∵x2+y2-6x=0(y>0)可化为(x-3)2+y2=9(y>0),∴曲线表示圆心为(3,0),半径为3的上半圆,它与直线y=k(x+2)有公共点的充要条件是:圆心(3,0)到直线y=k(x+2)的距离d≤3,且k>0,∴|3k-0+2k|k2+1≤3,且k>0,解得0<k≤34.故选C.
6.已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3),则n-3m+2的最大值为(  )
A.3+2  B.1+2
C.1+3  D.2+3
答案:D
解析:由题意可知n-3m+2表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,则n-3m+2=k,将圆C化为标准方程得(x-2)2+(y-7)2=8,C(2,7),r=22,由直线MQ与圆C有交点,得|2k-7+2k+3|1+k2≤22,得2-3≤k≤2+3,所以n-3m+2的最大值为2+3,选D.
7.设P,Q分别为圆O1:x2+(y-6)2=2和圆O2:x2+y2-4x=0上的动点,则P,Q两点间的距离的最大值是(  )
A.210+2+2  B.10+2+2
C.210+1+2  D.10+1+2
答案:A
解析:圆O1的圆心O1(0,6),半径r1=2,圆O2化为标准方程为(x-2)2+y2=4,圆心O2(2,0),半径r2=2.则|O1O2|=22+62=4+36=210>r1+r2=2+2,所以两圆相离,则|PQ|max=210+2+2.选A.
8.(2018•福建福州外国语学校适应性考试)已知点A(-2,0),B(2,0),若圆(x-3)2+y2=r2(r>0)上存在点P(不同于点A,B)使得PA⊥PB,则实数r的取值范围是(  )
A.(1,5)  B.[1,5]
C.(1,3]  D.[3,5]
答案:A
解析:根据直径所对的圆周角为90°,结合题意可得以AB为直径的圆和圆(x-3)2+y2=r2有交点,显然两圆相切时不满足条件,故两圆相交.而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=4,两个圆的圆心距为3,故|r-2|<3<r+2,求得1<r<5,故选A.
二、填空
9.已知直线l:y=x,圆C1:(x-3)2+y2=2.若圆C2与圆C1关于直线l对称,点A,B分别为圆C1,C2上任意一点,则|AB|的最小值为________.
答案:2
解析:因为圆C1的圆心坐标为(3,0),半径为2,所以C1到直线l的距离d=|3-0|2=322,所以圆C1上的点到直线l的最短距离为322-2=22.
因为圆C2与圆C1关于直线l对称,
所以|AB|min=2×22=2.
10.(2018•河南豫东、豫北名校段考)已知圆M与圆O:x2+y2=3+22相内切,且和x轴的正半轴,y轴的正半轴都相切,则圆M的标准方程是________.
答案:(x-1)2+(y-1)2=1
解析:圆O:x2+y2=3+22的圆心坐标为(0,0),半径为2+1,设圆M的圆心坐标为(a,a),半径为a(a>0),因为圆M与圆O:x2+y2=3+22相内切,所以2a=2+1-a,所以a=1,所以所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=1.
11.(2018•湖南师大附中摸底)已知直线l经过点P(-4,-3),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦长为8,则直线l的方程是________.
答案:x+4=0和4x+3y+25=0
解析:由已知条件知圆心(-1,-2),半径r=5,弦长m=8.
设弦心距是d,则由勾股定理得r2=d2+m22,解得d=3.若l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-4,圆心到直线的距离是3,符合题意.若l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y+3=k(x+4),即kx-y+4k-3=0,则d=|-k+2+4k-3|k2+1=3,即9k2-6k+1=9k2+9,解得k=-43,则直线l的方程为4x+3y+25=0.所以直线l的方程是x+4=0和4x+3y+25=0.
三、解答题
12.(2017•新课标全国卷Ⅲ,20)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
解析:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.
由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.
又x1=y212,x2=y222,故x1x2=y1y224=4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1•y2x2=-44=-1,
所以OA⊥OB.
故坐标原点O在圆M上.
(2)由(1)可得y1+y2=2m,
x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4,
故圆心M的坐标为(m2+2,m),
圆M的半径r=m2+22+m2.
由于圆M过点P(4,-2),因此AP→•BP→=0,
故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,
即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.
由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4,
所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12.
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,
圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.
当m=-12时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为94,-12,圆M的半径为854,
圆M的方程为x-942+y+122=8516.

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