2018高考数学(理)冲刺模拟试题(一)(山东、湖北有答案)

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2018高考数学(理)冲刺模拟试题(一)(山东、湖北有答案)

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齐鲁名校教科研协作体
山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷(一)
数学(理科)试题
命题:湖北随州一中(刘丽)  审题:山东临沂一中 山东临朐一中 山东沂水一中

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(原创,容易)已知全集 (  )
A.{3}    B.{0,3,5}    C.{3,5}    D.{0,3}
[答案]D
[解析]全集U={0,1,2,3,4},则CuA={0,3}
[考点]分式不等式及集合运算.
2.(原创,容易)已知i为虚数单位,现有下面四个命题
p1:复数z1=a+bi与z2=-a+bi,(a,b )在复平面内对应的点关于实轴对称;
p2:若复数z满足(1-i)z=1+i,则z为纯虚数;
p3:若复数z1,z2满意z1z2 ,则z2= ;
p4:若复数z满足z2+1=0,则z=±i.
其中的真命题为(  )
A.p1,p4     B.p2,p4     C.p1,p3     D.p2,p3
[答案]B
[解析]对于p1:z1与z2关于虚轴对称,所以p错误;对于p2:由(1-i)z=1+i z= ,则z为纯虚数,所以p2正确;对于p3:若z1=2,z2=3,则z1z2=6,满足z1z2 ,而它们实部不相等,不是共轭复数,所以p3不正确;p4正确.
[考点]复数与命题真假的综合.
3.(原创,容易)已知
A.充分不必要条件      B.必要不充分条件
C.充要条件            D.既不充分也不必要条件
[答案]A
[解析]  使 是真命题,
 
[考点]二次不等式及充分、必要条件.
4.(原创,容易)在某次学科知识竞赛中(总分100分),若参赛学生成绩 服从N(80, 2)( >0),若 在(70,90)内的概率为0.8,则落在[90,100]内的概率为(  )
A.0.05        B.0.1       C.0.15       D.0.2
[答案]B
[解析]由题意可得 .
[考点]正态分布.
5.(原创,容易)某几何体的三视图是网络纸上图中粗线画出的部分,已知小正方形的边长为1,则该几何体中棱长的最大值为(  )
A.         B.         C.       D.4
[答案]C
[解析]由三视图可得该几何体是一个四面体,可以将其放入棱长分别为1,2,3的长方体中,该四面体的棱长是长方体的各面的对角线,长度分别是 , , ,则最长的棱长为 .
[考点]三视图还原.
6.(原创,容易)要使右边的程序框图输出的S=2cos 则判断框内(空白框内)可填入(  )
A.         B.         C.          D.
[答案]B
[解析]要得到题中的输出结果,则 均满足判断框内的条件, 不满足判断框内的条件,故空白框内可填入
[考点]程序框图.
7.(原创,中档)已知等差数列 的第6项是二项式 展开式的常数项,则 =(  )
A.160     B.-160      C.320     D.-320
[答案]D
[解析]二项式 展开式的常数项是由3个 和3个 相乘得到的,所以常数项为
 所以 ,由等差数列的性质可得 =-320.
[考点]二项式定理及等差数列的性质.
8.(原创,中档)将函数 的图象按以下次序变换:①纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,②向右平移 个单位,得到函数 的图象,则函数 在区间 上的对称中心为(  )

A.             B.
C.               D.
[答案]D
[解析] 故 ,令
= 故k所有可能的取值为-1,0,1,故所求对称中心为(0,0),( ,0),(2 ,0).
[考点]三角函数的图象变换及正切函数的对称中心.
9.(原创,中档)已知点P是双曲线C: 的一条渐近线上一点,F1、F2是双曲线的下焦点和上焦点,且以F1F2为直径的圆经过点P,则点P到y轴的距离为(  )
A.         B.         C.1        D.2
[答案]D
[解析]不妨设点P在渐近线 上,设 又 ,由以F1F2为直径的圆经过点P,得 = ,解得 ,则点P到y轴的距离为 .
[考点]双曲线的几何性质
10.(原创,中档)已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三点,若动点P满足
 则点P的轨迹一定通过△ABC的(  )
A.内心      B.外心     C.重心      D.垂心
[答案]C
[解析]在△ABC中,由正弦定理得 边上的中点为D,由已知可得 故P点的轨迹在三角形的中线上,则P点轨迹一定通过三角形的重心.
[考点]平面向量的加减法的几何运算及向量共线的应用.
11.(原创,难)设直线 与椭圆 交于A、B两点,过A、B两点的圆与E交于另两点C、D,则直线CD的斜率为(  )
A.-           B.-2      C.       D.-4
[答案]D
[解析]本题来源于教材选修4-4中第38页例4,如图所示,AB、CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦,交点为P,两弦AB、CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1,∠2,且∠1=∠2,则  .
[考点]直线与圆、椭圆的综合
12.(改编,难)若函数 有三个不同的零点,则实数a的取值范围是(   )
A.           B.        C.       D. 
[答案]A
[解析]由题意可得 有3个不同解,令
 当 时,令 ,则 递减;当 递增,则 时,恒有 得 或 递减; 递增; 时, 递减,则 的极小值为 的极大值为 结合函数图象可得实数a的取值范围是 .
[考点]函数的零点与导数的综合应用.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. (原创,容易)设命题                                      .
[答案] .
[解析]特称命题的否定是全称命题.
[考点]全(特)称命题的否定.
14.(原创,容易)直线 的倾斜角的取值范围是       .
[答案]
[解析]若 ,则直线的倾斜角为90°;若 ,则直线的斜率k= 设直线的倾斜角为 ,则 ,故
  ,综上可得直线的倾斜角的取值范围是 .
[考点]直线的倾斜角与斜率的关系.
15.(原创,中档)设实数 满足 的最小值是        .
[答案]
[解析]不等式组对应的可行域如图,令 处取得最小值, 在点(1,2)处取得最大值, 故 的取值范围是
[考点]求线性约束条件下目标函数的最值.
16.(改编,难)已知G为△ABC的重心,点M,N分别在边AB,AC上,满足 其中 则△ABC和△AMN的面积之比为       .
[答案]
[解析]连接AG并延长交BC于D,此时D为BC的中点,故
  设 所以 .
所以 ,则 .
[考点]平面向量的综合应用
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
(原创,容易)在等差数列
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)若数列 ,求数列 的前n项和Sn.
解:(Ⅰ)设数列 的公差为d,则 由
 ……………………4分
所以 …………………………6分
(Ⅱ) 由(I)得, ………………8分
         ①
      ②
   ①-②,得 ,
所以 ……………………………………………………12分
[考点]等差数列基本量运算、数列求和.

18.(本题满分12分)
(原创,中档)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PCD,PD⊥CD,底面ABCD是梯形,AB∥DC,AB=AD=PD=1,CD=2AB, 为棱PC上一点.
(Ⅰ)若点 是PC的中点,证明:B ∥平面PAD;
(Ⅱ) 试确定 的值使得二面角 -BD-P为60°.

解析:
(Ⅰ)证明:取PD的中点M,连接AM,M ,
     ,
     M ∥CD, …………………………………………1分
又AB∥CD, ∥AB,QM=AB,
则四边形ABQM是平行四边形. ∥AM.……………………3分
又 平面PAD,BQ 平面PAD, ∥平面PAD.……4分
(Ⅱ)解:由题意可得DA,DC,DP两两垂直,以D为原点,DA,DC,DP所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则P(0,1,1),C(0,2,0),A(1,0,0),B(1,1,0).……………… 5分

 
 ……………………………………… 7分
又易证BC⊥平面PBD,
设平面QBD的法向量为
 
令 …………………………………………………9分
 ,
 
解得 ……………………………………………11分
 Q在棱PC上, ………………………………12分
[考点]线面平行证明及二面角计算
19.(本题满分12分)
(原创 ,中档)《中华人民共和国民法总则》(以下简称《民法总则》)自2017年10月1日起施行。作为民法典的开篇之作,《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况,随机抽取50人,他们的年龄都在区间[25,85]上,年龄的频率分布及了解《民法总则》的人数如下表:

年龄 [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85)
频数 5 5 10 15 5 10
了解《民法总则》 1 2 8 12 4 5

(Ⅰ)填写下面2×2 列联表,并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异;
 
(Ⅱ)若对年龄在[45,55),[65,75)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研,记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
 
解:(Ⅰ)2×2列联表:
 
………………………………………………………………………2分
 …………………………… 4分
 没有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异.………………5分
(Ⅱ)X的所有可能取值为0,1,2,3,
 
 
 
 
 …………………………………………………………10分
则X的分布列为
X 0 1 2 3

 
 
 

所以X的数学期望是 ………………………………12分
[考点]统计案例,超几何分布的分布列与期望.
20.(本题满分12分)
(改编,难)已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点相同,A为椭圆C的右顶点,以A为圆心的圆与直线 相交于P, 两点,且
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程和圆A的方程;
(Ⅱ)不过原点的直线 与椭圆C交于M、N两点,已知OM,直线 ,ON的斜率 成等比数列,记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S1、S2,试探究 的值是否为定值,若是,求出此值;若不是,说明理由.
解:(Ⅰ)如图,设T为PQ的中点,连接AT,则AT⊥PQ,
 
 
 ………………………………………………2分
由已知得 ,所以
 椭圆C的方程为 …………………………………… 4分
 
 
 ……………………………… 6分
(Ⅱ) 设直线 的方程为
由 ,
 
由题设知, ……………8分
 
 ………………………………………………………………10分


   
故 为定值,该定值为 .…………………………………………………12分
[考点]椭圆的标准方程、抛物线的性质、直线与圆的位置关系,圆的几何性质、圆的方程、直线与椭圆的位置关系.
21.(本题满分12分)
(改编,难)已知函数
(Ⅰ)若直线 且曲线 在A处的切线与 在B处的切线相互平行,求a的取值范围;
(Ⅱ)设 在其定义域内有两个不同的极值点 且 若不等式 恒成立,求 的取值范围.
解:(Ⅰ)依题意,函数 的定义域为(0, ), 因为曲线 在A处的切线与 在B处的切线相互平行,所以 有解,即方程 有解.………………………………………2分
方程 有解转化为函数 的图像在 上有交点,
如图,令过原点且与函数 的图像相切的直线的斜率为 ,只须
令切点为 ,所以
 ,所以 ……………………………………………………5分
(Ⅱ)
因为 在其定义域内有两个不同的极值点,所以 的两个根,即 ………………………………6分
因为
 
    …………8分
令 ,则 ,由题意知,不等式 上恒成立.

如果 所以 上单调递增,又
  上恒成立,符合题意.…………………………………………………10分
如果 时,  上单调递增,在 上单调递减,又 上不能恒小于0,不符合题意,舍去.
综上所述,若不等式 恒成立,只须 .……………12分
[考点]导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、最值,不等式恒成立问题.

选做题(请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分)
22.(本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】
(原创,容易)在直角坐标系 中,直线 的参数方程为
以O为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为
 与圆C交于点O,P,与直线 交于点Q.
(Ⅰ)求直线 的极坐标方程;
(Ⅱ)求线段PQ的长度.
解:(Ⅰ)将直线 的参数方程化为普通方程为 …………………………2分
再结合 , ,得直线 的极坐标方程为
 …………………………………………………………… 5分
(Ⅱ)联立 ……………………………………………7分
联立 ……………………………………………………… 9分
则线段PQ的长度为3-1=2.……………………………………………10分
[考点]方程互化,两点间距离的求法.
23.(本小题满分10分)【选修4-5:不等式选讲】
(原创,容易)已知函数
 (Ⅰ)求不等式
(Ⅱ)若 的图像与直线 围成图形的面积不小于14,求实数a的取值范围.
解:(Ⅰ) ……………………………………………2分
则不等式
解得 …………………………………………………………………………………4分
故不等式 的解集为 ………………………………………………5分
(Ⅱ)作出函数 的图象,如图.
若 的图象与直线 围成的图形是三角形,则当 时,△ABC的面积取得最大值 ,
 的图象与直线 围成图形的面积不小于14,该图形一定是四边形,即 …………………………………………………………7分
 △ABC的面积是6, 的面积不小于8.………………………………… 8分
 
 ……………………………………9分

故实数 的取值范围是 ………………………………………………10分
[考点]绝对值不等式解法,三角形面积的求法.
 

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