2018高三招生全国统一考试仿真数学文科试题十(含答案)

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2018高三招生全国统一考试仿真数学文科试题十(含答案)

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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
文科数学(十)
本试题卷共8页,23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 , ,则 的元素个数为(    )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示,若它们的中位数相同,则甲组数据的平均数为(    )
 
A.30 B.31 C.32 D.33
3.已知双曲线方程为 ,则该双曲线的渐近线方程为(    )
A.  B.  C.  D.
4.如图所示,黑色部分和白色部分图形是由曲线 , , , 及圆构成的.在圆内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(    )
 
A.  B.  C.  D.
5.已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则数列 的公差为(    )
A.3 B.  C.  D.6
6.设 与 均为锐角,且 , ,则 的值为(    )
A.  B.  C. 或  D. 或
7.如果函数 在区间 上单调递减,那么 的最大值为(    )
A.16 B.18 C.25 D.30
8.某四棱锥的三视图如图所示,其中正视图是斜边为 等腰直角三角形,侧视图和俯视图均为两个边长为1的正方形,则该四棱锥的高为(    )
 
A.  B.1 C.  D.
9.南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”,与著名的海伦公式等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减小,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即 .现有周长为 且 的 ,则其面积为(    )
A.  B.  C.  D.
10.数列 的前 项和为 , .则数列 的前50项和为(    )
A.49 B.50 C.99 D.100
11.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数 ( 且 )的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 , 间的距离为2,动点 与 , 距离之比为 ,当 , , 不共线时, 面积的最大值是(    )
A.  B.  C.  D.
12.已知不等式 在 上恒成立,且函数 在 上单调递增,则实数 的取值范围为(    )
A.  B.
C.  D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
13.若复数 为纯虚数,且 ( 为虚数单位),则 __.
14.已知向量 , ,若 ,则 ______.
15.执行如下图所示的程序框图,则输出的结果 __________.
 
16.过抛物线 : 的焦点 的直线交抛物线 于 , 两点.若 , ,则 的值为________.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知向量 , ,函数 .
(1)求 的最小正周期;
(2)当 时, 的最小值为5,求 的值.

18.随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的喜爱,各大购物网站为增加收入,促销策略越来越多样化,促销费用也不断增加,下表是某购物网站2017年1-8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据:
月份 1 2 3 4 5 6 7 8
促销费用
2 3 6 10 13 21 15 18
产品销量
1 1 2 3 3.5 5 4 4.5
(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合 与 的关系,请用相关系数 加以说明(系数精确到0.01);
(2)建立 关于 的回归方程 (系数精确到0.01);如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件,预测至少需要投入促销费用多少万元(结果精确到0.01).
参考数据: , , , , ,其中 , 分别为第 个月的促销费用和产品销量, , , , , .参考公式:
(1)样本 的相关系数 .
(2)对于一组数据 , , , ,其回归方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 , .
 
19.四棱台被过点 , , 的平面截去一部分后得到如图所示的几何体,其下底面四边形 是边长为2的菱形, , 平面 , .
(1)求证: ;
(2)求点 到平面 的距离.

20.已知椭圆 的左右顶点分别为 , ; 点坐标为 , 为椭圆 上不同于 , 的任意一点,且满足 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)设 为椭圆 的右焦点,直线 与椭圆 的另一交点为 , 的中点为 ,若 ,求直线 的斜率.
21.已知函数 ( , 为自然对数的底数).
(1)若曲线 在点 处的切线垂直于 轴,求实数 的值;
(2)当 时,求函数 的最小值.

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.已知曲线 的极坐标方程为: ,以极点为坐标原点,以极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系,曲线 的参数方程为:  ( 为参数),点 .
(1)求出曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程;
(2)设曲线 与曲线 相交于 , 两点,求 的值.

23.已知函数 .
(1)若不等式 有解,求实数 的最大值 ;
(2)在(1)的条件下,若正实数 , 满足 ,证明: .


绝密 ★ 启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
文科数学(十)答案
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.B 2.B 3.C 4.A 5.C 6.B
7.B 8.A 9.A 10.A 11.D 12.D
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
13.  14.10 15.9 16.4
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)由题意知:
 •••••••••2分
 ,•••••••••4分
所以 的最小正周期为 .•••••••••6分
(2)由(1)知: ,
当 时, .•••••••••8分
所以当 时, 的最小值为 .•••••••••10分
又∵ 的最小值为5,∴ ,即 .•••••••••12分
18.【答案】(1)见解析;(2)24.59万元.
【解析】(1)由题可知 , ,•••••••••2分
将数据代入 ,
得 ,•••••••••5分
因为 与 的相关系数近似为0.995,说明 与 的线性相关性很强,从而可以用回归模型拟合 与 的的关系.(需要突出“很强”,“一般”或“较弱”,否则不给分).••••6分
(2)将数据代入 得 ,•••••••••8分
 ,
所以 关于 的回归方程 .•••••••••10分
由题 解得 ,即至少需要投入促销费用24.59万元.••••••12分
19.【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】(1)其底面四边形 是边长为2的菱形,
则有 ,•••••••••1分
∵ 平面 ,∴ ,•••••••••2分
而 ,∴ 平面 ,•••••••••4分
 平面 ;∴ .•••••••••6分
(2)利用等体积法 ,•••••••••8分
根据题目条件可求出 , , ,可知 是直角三角形设点 到平面 的距离为 ,
 ,•••••••••9分
 ,•••••••••10分
解得 .•••••••••2分
20.【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)设 ,
∴ ,∴ ,•••••••••2分
整理得: ,•••••••••3分
∵ 、 两点在椭圆上,
∴椭圆 的方程为 .•••••••••4分
(2)由题可知,斜率一定存在且 ,设过焦点 的直线方程为 ,设 , , .
联立 ,则 ,•••••••••6分
∴ ,•••••••••7分
∴ ,•••••••••8分
∴ ,•••••••••9分

 ,•••••••••10分
又∵ ,∴ ,•••••••••11分
∴ ,∴ ,∴ .•••••••••12分
21.【答案】(1) ;(2) .
【解析】由题得,
  .•••••••••2分
(1)由曲线 在点 处的切线垂直于 轴,得 ,
即 ,
解得 .•••••••••4分
(2)设 ,
则只需求当 时,函数 的最小值.
令 ,解得 或 ,•••••••••5分
而 ,即 .
从而函数 在区间 和区间 上单调递增,
在区间 上单调递减.•••••••••7分
当 ,即 时,函数 在区间 上为减函数, ;••9分
当 ,即 时,函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,所以函数 的极小值即为其在区间 上的最小值, .•••••••••11分
综上可知,当 时,函数 的最小值为 ;
当 时,函数 的最小值为 .•••••••••12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.【答案】(1) , ;(2) .
【解析】(1) , , ,
 , ; ,
 的直角坐标方程为: ,
 , ,
 的普通方程为 .•••••••••5分
(2)将 , ,
得: , , ,
 , ,
由 的几何意义可得: .•••••••••10分
23.【答案】(1) ;(2)证明见解析.
【解析】(1)若不等式 有解,只需 的最大值 即可.
因为 ,所以 ,解得 ,
所以实数 的最大值 .•••••••••5分
(2)根据(1)知正实数 , 满足 ,
由柯西不等式可知 ,
所以, ,因为 , 均为正实数,
所以 (当且仅当 时取“=”).•••••••••10分

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