2019届高三数学上学期一模试卷(文科含答案贵州遵义航天高中)

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2019届高三数学上学期一模试卷(文科含答案贵州遵义航天高中)

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2018~2019届高三第一次模拟考试试题
高三 文科数学
 
一、选择题:(本题12小题,每小题5分,共60分)
1、复数 的共轭复数是(  )
A .  B.       C.         D.
2、已知全集 ,集合 , ,则A C B=(    )
A.  B.  C.  D.
3、若 满足 错误!未找到引用源。则 的最大值为
A.1        B.3C.5    D.9
4、下列有关命题的说法错误的是(      )
A.若“ ”为假命题,则 与 均为假命题;
B.“ ”是“ ”的充分不必要条件;
C.若命题 ,则命题 ;
D.“ ”的必要不充分条件是“ ”.
5、欧拉公式 ( 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发 现的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当 时, 被认为是数学上最优美的公式,数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知, 表示的复数在复平面中位于(    )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三 象限 D.第四象限
6.在区间 上任取两个数,则这两个数之和大于3的概率是(    )
A.  B.  C.  D.

7.函数 的图像大致为 [来源:Z。xx。k.Com]
 
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(    )

A.  B.  C.  D.
[来源:学科网]

9.若仅存 在一个实数 ,使得曲线 :  关于直线 对称,则 的取值范围是(    )
A.  B.  C.  D.
10已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 ,则这个四棱锥外接球的表面积为()
(A)  (B)    (C)    (D)
11、已知 和 分别是双曲线 的两个焦点, 和 是以 为圆心,以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 是等边三角形,则该双曲线的离心率为 (    )
(A)    (B)   (C)   (D) 
12、已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点,则 的取值范围是(    )
A.  B.  C.  D.
二、填空题:(本题4小题,每小题5分,共20分)
13.已知菱形 的边长为 , ,则 等于________.
14.记 为数列 的前 项和,若 ,则 _____________.
15.曲线 在点 处的切线的斜率为 ,则 ________.
16.抛物线 的焦点为 ,点 , 为抛物线上一点,且 不在直线 上,则 周长的最小值为____________.
三、解答题:
17.(12分)设 是数列 的前 项和,已知 , .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ,求数列 的前 项和 .

18.(12分)某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第1组[25,30),第2组[30,35),第3组[35,40),第4组[40,45),第5组[45,50],得到的频率分布直方图如图所示.
区间 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50)
人数 50 50 a 150 b
 
(1)上表是年龄的频数分布表,求正整数 的值;
(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人,年龄在第1,2,3组的人数分别是多少?
(3)在(2)的前提下,从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动,求至少有1人年龄在第3组的概率.

19.(12分)如图,四棱锥 中,底面 为矩形, 面 , 为 的中点.
(1)证明: 平面 ;
(2)设 , ,三棱锥 的体积  ,求点 到平面 的距离.


20、(12分)本小题如图,椭圆E: 经过点 ,且离心率为 .
(1)求椭圆E的方程;
( 2)经过点 ,且斜率为 的直线与椭圆E交于不同两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP 与AQ的斜率之和为定值.


21、(12分)已知函数 ,
(1)试确定函数  的零点个数;
(2)设 , 是函数 的两个零点,证明: .


22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),直线 的参数方程为 ( 为参数).
(1)求 和 的直角坐标方程;
(2)若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ,求 的斜率.

 
文科数学答案
高三文科
附文科答案:
一、选择题:1---5BCDC   6----10ABDDC    11---12CB
填空题:13.     14.-63    15.-3    16.13
三、解答题:
17、【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)∵ , ,
∴当 时, ,得 ;••••1分
当 时, ,
∴当 时, ,
即 ,••••3分
又 ,••••4分
∴ 是以 为首项, 为公比的等比数列.••••5分
∴数列 的通项公式为 .••••6分
(2)由(1)知, ,••• •7分
 ,••••8分
当 为偶数时, ;••••10分
当 为奇数时, ,
∴ .••••12分/
18.解:(1)由题设可知a=0.08x5x500=200,b=0.02x5x500=50...........2分
(2)因为第1,2,3组共有50+50+200=300人,
利用分层抽样在300名学生中抽取  名学生,每组抽取的人数分别为:
第1组的人数为  ,第2组的人数为  ,第3组的人数为  ,
所以第1,2,3组分别抽取1人,1人,4人.……………………6分
(3)设第1组的1位同学为  ,第2组的1位同学为  ,第3组的4位同学为  ,则从6位同学中抽两位同学有:
      
       共  种可能.……………………9分
其中2人年龄都不在第3组的有:(A,B) 共1种可能,
所以至少有1人年龄在第3组的概率为  .……………………12分
19.(1)证明见解析(2) 到平面 的距离为
(I)证:设BD交AC于点O,连结EO。
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点。
又E为PD的中点,所以EO∥PB   
又EO 平面AEC,PB 平面AEC
所以PB∥平面AEC。……………………5分
(II)解: 由 ,可得 .
作 交于
由题设易知 ,所以 故 ,
又 所以 到平面的距离为 ………………… …12分
法2:等体积法[来源:学科网]
 由 ,可得.
由题设易知 ,得
假设A到平面PBC的距离为d,
又因为PB=
所以
又因为 (或 ),
 ,所以 ……………………12分
 [来源:学科网]
20、解:(1)由题意知 ,b=1, ,                          …………3分
 
所以椭圆E的方为 .              …………5分
(2)证明:设直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠2),代入 ,
得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由题意知Δ>0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),且x1x2≠0,则 , ,               …………8分所以 
故直线AP与AQ的斜率之 和为定值2
 [来源:学科网ZXXK]
 
 
 
21、(I)由f(x)=0得a=(2-x)ex,令g(x)=(2-x)ex,
 
函数f(x)的零点个数即直线y=a与曲线g(x)=(2-x)ex的交点个数,
∵g'(x)=-ex+(2-x)ex=(1-x)ex,-------------(2分)
由g'(x)>0得x<1,∴函数g(x)在(-∞,1)单调递增,
由g'( x)<0得x>1,∴函数g(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴当x=1时,函数g(x)有最大值,g(x)max=g(1)=e,----------(3分)
又当x<2时,g(x)>0,g(2)=0,当x>2时g(x)<0,
∴当a>e时,函数f(x)没有零点;---------- ------------------(4分)
当a=e或a≤0时,函数f(x)有一个零点;---------------------(5分)
当0<a<e时,函数f(x)有两个零点.-----------------------(6分)
(II)证明:函数f(x)的零点即直线y=a与曲线g(x)=(2-x)ex的交点横坐标,
不妨设x1<x2,由(I)知x1<1,x2>1,得2-x2<1,
∵函数g(x)=(2-x)ex在(-∞,1)上单调递增,
∴函数f(x)=-g(x)+a在(-∞,1)单调递减,
要证x1+x2<2,只需证x1<2-x2,-------------------------------(7分)
∴只需证f(x1)>f(2-x2),又f(x1)=0,即要证f(2-x2)<0,-----------(8分)
∵由a=g(x2)得f(2-x2)=-x2e2-x2+a=-x2e2-x2-(x2-2)ex2,(x2>1)-------(9分)
令h(x)=-xe2-x-(x-2)ex,则h'(x)=(1-x)(ex-e2-x),------------(10分)
当x>1时,ex>e2-x,h'(x)<0,即函数h(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴h(x)<h(1)=0,
∴当x2>1时,f(2-x2)<0,即x1+x2<2.-----------------(12分)
证法二:由(Ⅰ)知,a>0,不妨设x1<1<x2,
设F(x)=f(x)-f(2-x)(x>1),则F(x)=(x-2)ex+xe2-x,--------(8分)
F'(x)=(1-x) (e2-x-ex),易知y=e2-x-ex是减函数,
当x>1时,e2-x-ex<e-e=0,又1-x<0,得F'(x)>0,
所以F(x)在(1,+∞)递增,F(x)>F(1)=0,即f(x)>f(2-x).-----(10分)
由x2>1得f(x2)>f(2-x2),又f(x2)=0=f(x1),所以f(2-x2)<f(x1),
由g(x)=(2-x)ex在(-∞,1)上单调递增,得f(x)=-g(x)+a在(-∞,1)单调递减,
又2-x2<1,∴2-x2>x1,即x1+x2<2,得证.-----------------------(12分)
22、解析:(1)曲线C的直角坐标方程为:
当cosa 0时,L的直角坐标方程为y=tana.x+2-tana
当cosa=0时,L的直角坐标方程为:x=1
(2) 将L的参数方程带入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程
 ..........①
因为曲线C截直线L所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为 ,则 
又①得 ,故2cosa+sina=0,于是直线L的斜率K

 

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