2019届高三数学上学期一模试卷(理科附答案贵州遵义航天高中)

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2019届高三数学上学期一模试卷(理科附答案贵州遵义航天高中)

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2018~2019高三第一次模拟考试试题
高三理科数学
一、选择题:(本题12小题,每小题5分,共60分)
1、复数 的共轭复数是(  )
(A)   (B)  (C)  (D)
2、已知全集 ,集合 , ,则A C B=
A. B. C.  D.
3、设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 (     )
A.1                 B.2                  C.3                D.4
4、下列有关命题的说法错误的是(      )
A.若“ ”为假命题,则 与 均为假命题;
B.“ ”是“ ”的充分不必要条件;
C.若命题 ,则命题 ;
D.“ ”的必要不充分条件是“ ”.
5、欧拉公式 ( 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当 时, 被认为是数学上最优美的公式,数学家们评价它是“上帝创造 的公式”.根据欧拉公式可知, 表示的复数在复平面中位于(    )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.在区间 上任取两个数,则这两个数之和大于3的概率是(    )
A.  B.  C.  D.
7.函数 的图像大致为 (    )
 
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(    )

A.  B.  C.  D.

9.若仅存在一个实数 ,使得曲线 :  关于直线 对称,则 的取值范围是(    )
A.  B.  C.  D.
10. 将 甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班, 则不同分法的种数为()
A. 18B.24       C.30         D.36
11、已知 和 分别是双曲线 的两个焦点, 和 是以 为圆心,以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 是等边三角形,则该双曲线的离心率为 (    )
(A)    (B)   (C)   (D) 
12、已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点,则 的取值范围是(    )
A.  B.  C.  D.
二、填空题:(本题4小题,每小题5分,共20分)
13.已知菱形 的边长为 , ,则 等于________.
14.记 为数列 的前 项和,若 ,则 _____________.
15.抛物线 的焦点为 ,点 , 为抛物线上一点,且 不在直线 上,则 周长的最小值为____________.
16.已知点 在同一个球的球面上, , ,若四面体
 的体积为 ,球心 恰好在棱 上,则这个球的表面积为________.
三、解答题:
17.(12分)设 是数列 的前 项和,已知 , .
(1)求数列 的通项公式(2)设 ,求数列 的前 项和 .

18、(12分)甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司底薪70元,每单抽成2元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分每单抽成4元,超出40单的部分每单抽成6元.假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其100天的送餐单数,得到如下频数表:
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 20 40 20 10 10
乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 10 20 20 40 10
(1)现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天,求这两天送餐单数都大于40的概率;
(2)若将频率视为概率,回答以下问题:
(ⅰ)记乙公 司送餐员日工资为 (单位:元),求 的分布列和数学期望;
(ⅱ)小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.

19.(12分)如图,四边形 是矩形,沿对角线 将 折起,使得点 在平面 上的射影恰好落在边 上.
 
(1)求证:平面 平面 ;
(2)当 时,求二面角 的余弦值.[来源:学。科。网Z。X。X。K]

20.(12分)已知点 和动点 ,以线段 为直径的圆内切于圆 .
(1)求动点 的轨迹方程;
(2)已知点 , ,经过点 的直线 与动点 的轨迹交于 , 两点,求证:直线 与直线 的斜率之和为定值.

21、(12分)¨°??aoˉêy ,
(1)¨º?è•?¨oˉêy ¦Ì?á?μ???êy£?
¡ê¡§2¡ê?¨¦¨¨ ¡ê? ¨º?oˉêy ¦Ì?á???á?μ?£??¤?÷£o ¡ê?
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),直线 的参数方程为 ( 为参数).[来源:学*科*网]
(1)求 和 的直角坐标方程;
(2)若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ,求 的斜率.
 
理科数学答案
附理科答案:
一、选择题:1-------5BCBDC  6--------10ABDDC  11--12CB
填空题:1 3.   14.-63   15.13    16.16
一、解答题:
17、【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)∵ , ,
∴当 时, ,得 ;••••1分
当 时, ,
∴当 时, ,
即 ,••••3分
又 ,••••4分
∴ 是以 为首项, 为公比的等比数列 .•••• 5分
∴数列 的通项公式为 .••••6分
(2)由(1)知, ,••••7分
 ,••••8分
当 为偶数时, ;••••10分
当 为奇数时, ,
∴ .••••12分/
18、解:(1)记“抽取的两天送餐单数都大于 40”为事件 ,则 ;          …………4分
(2)(ⅰ)设乙公司送餐员送餐单数为 ,则
当 时, ;当 时, ;
当 时, ;当 时, ;
当 时, .所以 的所有可能取值为152,156,160,166,172.                                …………6分
故 的分布列为:[来源:Z_xx_k.Com]
 
152 156 160 166 172
 
 
 [来源:Zxxk.Com]
 
 
 [来源:学科网ZXXK]

 
 .                     …………8分
(ⅱ)依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数为
 .                              …………10分
所以甲公司送餐员日平均工资为 元.                               …………11分
由(ⅰ)得乙公司送餐员日平均工资为 元.
因为 ,故推荐小明去乙公司应聘.                                        …………12分
 
19、【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】(1)设点 在平面 上的射影为点 ,连接 ,
 
则 平面 ,所以 .
因为四边形 是矩形,所以 ,所以 平面 ,••••2分
所以 .••••3分
又 ,所以 平面 ,••••4分
而 平面 ,所以平面 平面 .••••5分
(2)以点 为原点,线段 所在的直线为 轴,线段 所在的直线为 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
 
设 ,则 ,所以 , .••••6分
由(1)知 ,又 ,所以 , ,
那么 , ,
 ,••••8分
所以 ,所以 , .
设平面 的一个法向量为 ,则 ,即 .
取 ,则 , ,所以 .••••10分
因为平面 的一个法向量为 ,••••1 1分
所以 .
所以二面角 的余弦值为 .••••12分
20、【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】(1)如图,设以线段 为直径的圆的圆心为 ,取 .
 
依题意,圆 内切于圆 ,设切点为 ,则 , , 三点共线,
 为 的 中点, 为 中点, .••••1分
 ,
∴动点 的轨迹是以 , 为焦点,长轴长为4的椭圆,••••3分
设其方程为 ,则 , ,
 , , , 动点 的轨迹方程为 .••••5分
(2)①当直线 垂直于 轴时,直线 的方程为 ,此时直线 与椭圆 相切,与题意不符.••••6分
②当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 .
由 消去 整理得 .••••7分
∵直线 与椭圆交于 , 两点,
∴ ,解得 .••••8分
设 , ,则 , ,••••9分
 
 
 (定值).••••12分
21、(I)由f(x)=0得a=(2-x)ex,令g(x)=(2-x)ex,
 
函数f(x)的零点个数即直线y=a与曲线g(x)=(2-x)ex的交点个数,
∵g'(x)=-ex+(2-x)ex=(1-x)ex,-------------(2分)
由g'(x)>0得x<1,∴函数g(x)在(-∞,1)单调递增,
由g'(x)<0得x>1,∴函数g(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴当x=1时,函数g(x)有最大值,g(x)max=g(1)=e,----------(3分)
又当x<2时,g(x)>0,g(2)=0,当x>2时g(x)<0,
∴当a>e时,函数f(x)没有零点;----------------------------(4分)
当a=e或a≤0时,函数f(x)有一个零点;------------------ ---(5分)
当0<a<e时,函数f(x)有两个零点.-----------------------(6分)
(II)证明:函数f(x)的零点即直线y=a与曲线g(x)=(2-x)ex的交点横坐标,
不妨设x1<x2,由(I)知x1<1,x2>1,得2-x2<1,
 ∵函数g(x)=(2-x)ex在(-∞,1)上单调递增,
∴函数f(x)=-g(x)+a在(-∞,1)单调递减,
要证x1+x2<2,只需证x1<2-x2,-------------------------------(7分)
∴只需证f(x1)>f(2-x2),又f(x1)=0,即要证f(2-x2)<0,-----------(8分)
∵由a=g(x2)得f(2-x2)=-x2e2-x2+a=-x 2e2-x2-(x2-2)ex2,(x2>1)-------(9分)
令h(x)=-xe2-x-(x-2)ex,则h'(x)=(1-x)(ex-e2-x),------------(10分)
当x>1时,ex>e2-x,h'(x)<0,即函数h(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴h(x)<h(1)=0,
∴当x2>1时,f(2-x2)<0,即x1+x2<2.-----------------(12分)
证法二:由(Ⅰ)知,a>0,不妨设x1<1<x2,
设F(x)=f(x)-f(2-x)(x>1),则F(x)=(x-2)ex+xe2-x,--------(8分)
F'(x)=(1-x)(e2-x-ex),易知y=e2-x-ex是减函数,
当x>1时,e2-x-ex<e-e=0,又1-x<0,得F'(x)>0,
所以F(x)在(1,+∞)递增,F(x)>F(1)=0,即f(x)>f(2-x).-----(10分)
由x2>1得f(x2)>f(2-x2),又f(x2)=0=f(x1),所以f(2-x2)<f(x 1),
由g(x)=(2-x)ex在(-∞,1)上单调递增,得f(x)=-g(x)+a在(-∞,1)单调递减,
又2-x2<1,∴2-x2>x1,即x1+x2<2,得证.-----------------------(12分)
22、解析:(1)曲线C的直角坐标方程为:
当cosa 0时,L的直角坐标方程为y=tana.x+2-tana
当cosa=0时,L的直角坐标方程为:x=1
(2) 将L的参数方程带入C的直角坐标方程,整理的关于t的方程
 ..........①
因为曲线C截直线L所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为 ,则
又①得 ,故2cosa+sina=0 ,于是直线L的斜率K=tana=-2

 

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