2015-2016肇庆市高一数学下学期期末试题(附答案)

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2015-2016肇庆市高一数学下学期期末试题(附答案)

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肇庆市中小学教学质量评估
2015—2016学年第二学期统一检测题
高一数学

本试卷共4页,22小题,满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项:
1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区)、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用2B铅笔将考生号涂黑.
2. 选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷或草稿纸上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再在答题区内写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. )
(1)与60相等的弧度数是
(A)        (B)         (C)         (D)
(2)已知向量 ,则 的结果是
(A)(7,-2)    (B)(1,-2)     (C)(1,-3)    (D)(7,2)
(3)在 中,角 所对的边分别是 ,若B=30,b=2,则 的值是
(A)2           (B)3           (C)4            (D)6
(4)已知等比数列{an}满足 ,则 的值是
(A)64      (B)81     (C)128     (D)43


(5)如图,在 中,三个顶点分别为 ,点 在 的内部及其边界上运动,则 的取值范围是
(A)       (B)      (C)      (D) 
(6)在 中,已知 且 ,则该三角形是
(A)等边三角形                 (B)等腰直角三角形
(C)等腰三角形                 (D)不能判断形状
(7)我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图所示:

 

则第7个三角形数是
(A)27         (B)28        (C)29        (D)30
(8)化简 ,得到的结果是
(A)     (B)     (C)   (D)
(9)若 , ,则 的值是
(A)          (B)   (C)   (D)
(10)函数 的部分图象   如图所示,则 的值是
(A)        (B)
(C)      (D)
(11)设 (a>0,b>0,O为坐标原点),若  三点共线,则 的最小值是
(A)        (B)4      (C)    (D)9

(12)对于 ,定义运算“ ”:  设函数
 . 若函数 的图像与 轴恰有两个公共点,则实数 的取值范围是
(A)         (B)
(C)      (D)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分. )
(13)函数 的最小正周期是  ▲  .
(14)《九章算术》是中国古代数学名著,其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致. 如某一问题:现有扇形田,下周长(弧长)20步,径长(两段半径的和)24步,则该扇形田的面积为  ▲  平方步.
(15)如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠C=120°,AB=4,
BC=CD=2,则该四边形的面积是  ▲  .
(16)设 成等差数列, 成等比数列,则 的取值范围是  ▲  .

三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出证明过程或演算步骤. )
(17)(本小题满分10分)
(Ⅰ)在等差数列 中, ,求该数列的第8项 ;
(Ⅱ)在等比数列{bn}中, ,求该数列的前5项和 .


(18)(本小题满分12分)
已知 是第三象限角,且 .
(Ⅰ)求 与 的值;
(Ⅱ)求 的值.


(19)(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求 的递减区间;
(Ⅱ)当 时,求 的最值,并指出取得最值时相应的 的值.

(20)(本小题满分12分)
设数列 的前 项和为 ,数列 为等比数列,且 , .
(Ⅰ)求数列 和 的通项公式;
(Ⅱ)设 ,求数列 的前 项和 .

(21)(本小题满分12分)
某通讯公司需要在如图所示的三角形地带 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站,甲中转站建在区域 内,乙中转站建在区域 内.分界线 固定,且 百米,边界线 始终过点 ,边界线 、 满足 , , ,设 百米, 百米.
(Ⅰ)试将 表示成 的函数;
(Ⅱ)当 取何值时,整个中转站的占地面积 最小,并求出面积的最小值.

(22)(本小题满分12分)
已知数列 满足 , , .
(Ⅰ)求证:数列 为等比数列;
(Ⅱ)是否存在互不相等的正整数 ,使得 成等差数列且 , , 成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的 的值;如果不存在,请说明理由.

2015—2016学年第二学期统一检测题
高一数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A C A C A B C B D D B

二、填空
(13)2        (14)120        (15)         (16)

三、解答题
(17)(本小题满分10分)
解:(Ⅰ)设数列 的公差为 ,由已知 ,
得 ,                                      (2分)
解得 ,                                               (4分)
所以  .                              (5分)
(或者 )
(Ⅱ)解法一:设数列 的公差为 ,由已知 ,
得 ,                                         (7分)
解得  ,                                               (9分)
所以  .                        (10分)
解法二:设数列 的公差为 .
由 ,得 ,                       (6分)
从而得 .                                               (7分)
又因为 ,                     (8分)
从而得 .                                               (9分)
所以  .                      (10分)

(18)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)因为 是第三象限角,所以 .                (1分)
又因为 ,所以   .( 3分)
故  ,                                 (5分)
  .                 (8分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 , ,
所以              (12分)
(或者 )

(19)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)解法一:
 
 
                                       (2分)
要使 递减,则 要满足:
 ,                         (4分)
即 ,                              (5分)
所以函数 的递减区间是 ;          (6分)
解法二:
 
 
                                     (2分)
要使 递减,则 要满足:
 ,                              (4分)
即 ,                              (5分)
所以函数 的递减区间是 .           (6分)
(Ⅱ)解法一:
因为 ,所以 ,                    (7分)
所以 ,                                  (9分)
所以 ,
所以 .                            (10分)
故当 时,
函数 的最小值是0,此时 ,得 ;   (11分)
函数 的最大值是 ,此时 ,得 .     (12分)
解法二:
因为 ,所以                       (7分)
所以 ,                                  (9分)
所以 ,
所以 .                            (10分)
故当 时,
函数 的最小值是0,此时 ,得 ;   (11分)
函数 的最大值是 ,此时, ,得 .   (12分)

(20)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)因为 ,
所以当 时, ,                                      (1分)
当 时, ,                 (2分)
显然 适合上式,所以 的通项公式为              (3分)
设数列 的公比为 . 因为 ,所以 ,(4分)
所以 ,公比 .                                     (5分)
故 的通项公式为 .                 (6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ,                          (7分)
所以             (8分)
所以 ,                               (9分)
两式相减得:                     (10分)
                         (11分)
 
                                        (12分)

(21)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由图可知, .                    (1分)
即 ,  (3分)
整理得  ,  (5分)
化简得: .             (6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,
因此,
 
                                      (8分)
 
 
 
当且仅当 即 时等号成立.                         (10分)
此时 米,中转站的占地面积 为 平方米.  (11分)
                                                              
答:当 米,中转站的占地面积 最小,最小面积是 平方米.
                                                               (12分)

(22)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)证明:因为 ,
所以 ,                                     (1分)
所以                                   (2分)
即 ,所以 .                            (3分)
又 ,所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列.  (4分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 ,所以 .       (5分)
假设存在互不相等的正整数 满足条件,
则有 ,                                      (6分)
所以 ,                          (7分)
整理得                             (8分)
又 ,所以  ,                                  (9分)
又 ,当且仅当 ,即 时等号成立.      (10分)
但这与 互不相等矛盾.                                            (11分)
所以不存在互不相等的正整数 ,使得 成等差数列且 成等比数列.                                                                 (12分)

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