福建南平市2016年高一数学下学期期末试卷(附解析)

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福建南平市2016年高一数学下学期期末试卷(附解析)

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山课件 w ww.5 Y K j.Co M

2015-2016学年福建省南平市高一(下)期末数学试卷
 
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求的.
1.不等式(x﹣3)(x+2)<0的解集为(  )
A.(﹣3,2) B.(﹣2,3) C.[﹣3,2) D.(﹣∞,﹣2)∪(3,+∞)
2.设向量 =(1,2), =(m,m+1), ∥ ,则实数m的值为(  )
A.1 B.﹣1 C.﹣  D.﹣3
3.已知α的终边过点( ,﹣2),则sin(π+α)等于(  )
A.﹣  B.  C.﹣  D.
4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a1=﹣1,S4=14,则a4等于(  )
A.2 B.4 C.6 D.8
5.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a=3b,sinB= ,则sinA等于(  )
A.  B.  C.  D.
6.为了得到函数y=sin2x的图象,只需把函数y=sin(2x﹣ )的图象(  )
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
7.如果实数x,y满足条件 ,则z=x+2y的最大值为(  )
A.3 B.  C.4 D.5
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=4,c=2 ,cosA=sin1380°,则a等于(  )
A.7 B.2  C.2  D.2
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则下列判断错误的是(  )
 
A.A=2 B.ω=2 C.f(0)=1 D.φ=
10.在▱ABCD中,AB=2BC=4,∠BAD= ,E是CD的中点,则 • 等于(  )
A.2 B.﹣3 C.4 D.6
11.已知x>﹣1,y>0,且x+y=1,则 + 的最小值为(  )
A.3 B.4 C.  D.5
12.已知数列{an}的前n项和为Tn,a1=1且a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an=2n﹣1,则T8﹣2等于(  )
A.  B.  C.  D.
 
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分.共20分.
13.已知数列{an}的前n项和为Sn=n(2n+1),则a2=      .
14.已知向量 , 满足| |=1,| |=2 ,| ﹣ |=2,则 • =      .
15.若2cos(θ﹣ )=3cosθ,则tan2θ=      .
16.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a2+b2﹣c2=6 ﹣2ab,且C=60°,则△ABC的面积为      .
 
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知向量 =(x,﹣1), =(x﹣2,3), =(1﹣2x,6).
(1)若 ⊥(2 + ),求| |;
(2)若 • <0,求x的取值范围.
18.等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若a3,a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项,求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
19.锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB+bcosA= csinC.
(1)求cosC;
(2)若a=6,b=8,求边c的长.
20.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=9,a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足bn=(an﹣1)2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
21.已知向量 =( sinx,﹣1), =(cosx,m),m∈R.
(1)若m= ,且 ∥ ,求 的值;
(2)已知函数f(x)=2( + )• ﹣2m2﹣1,若函数f(x)在[0, ]上有零点,求m的取值范围.
22.如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(  a﹣sinC)cosB=sinBcosC,b=4 .
(1)求角B的大小;
(2)D为BC边上一点,若AD=2,S△DAC=2 ,求DC的长.
 
 
 

2015-2016学年福建省南平市高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求的.
1.不等式(x﹣3)(x+2)<0的解集为(  )
A.(﹣3,2) B.(﹣2,3) C.[﹣3,2) D.(﹣∞,﹣2)∪(3,+∞)
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数解,直接写出不等式的解集即可.
【解答】解:不等式(x﹣3)(x+2)<0对应方程为
(x﹣3)(x+2)=0,
解方程得x=3或x=﹣2;
所以该不等式的解集为(﹣2,3).
故选:B.
 
2.设向量 =(1,2), =(m,m+1), ∥ ,则实数m的值为(  )
A.1 B.﹣1 C.﹣  D.﹣3
【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.
【分析】利用向量平行的性质求解.
【解答】解:∵ =(1,2), =(m,m+1), ∥ ,
∴ ,
解得m=1.
故选:A.
 
3.已知α的终边过点( ,﹣2),则sin(π+α)等于(  )
A.﹣  B.  C.﹣  D.
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】根据任意角的三角函数的定义求出sinα,利用诱导公式求解sin(π+α)即可.
【解答】解:∵角α的终边过点( ,﹣2),
∴r=3,
∴sinα=﹣ ,
∴sin(π+α)=﹣sinα= ,
故选:D.
 
4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a1=﹣1,S4=14,则a4等于(  )
A.2 B.4 C.6 D.8
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由等差数列{an}的前n项和公式求出公差,由此能求出a4.
【解答】解:∵Sn为等差数列{an}的前n项和,a1=﹣1,S4=14,
∴4×(﹣1)+ =14,
解得d=3,
∴a4=﹣1+3d=﹣1+3×3=8.
故选:D.
 
5.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a=3b,sinB= ,则sinA等于(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】正弦定理.
【分析】由已知利用正弦定理即可计算求值得解.
【解答】解:∵a=3b,sinB= ,
∴由正弦定理: ,可得:sinA= =3× = .
故选:B.
 
6.为了得到函数y=sin2x的图象,只需把函数y=sin(2x﹣ )的图象(  )
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】把函数y=sin(2x﹣ )变形为y=sin2(x﹣ ),可知要得函数y=sin(2x﹣ )的图象,只需把函数y=sin2x的图象向右平移 个单位,取逆过程得答案.
【解答】解:∵y=sin(2x﹣ )=sin2(x﹣ ),
∴要得函数y=sin(2x﹣ )的图象,只需把函数y=sin2x的图象向右平移 个单位,
反之,要得函数y=sin2x的图象,只需把函数y=sin(2x﹣ )的图象向左平移 个单位.
故选:C.
 
7.如果实数x,y满足条件 ,则z=x+2y的最大值为(  )
A.3 B.  C.4 D.5
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).
由z=x+2y得y=﹣ x+ z,
平移直线y=﹣ x+ z,
由图象可知当直线y=﹣ x+ z经过点A时,直线y=﹣ x+ z的截距最大,
此时z最大.
由 ,解得 ,即A(1,2),
代入目标函数z=x+2y得z=1+2×2=5
故选:D
 
 
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=4,c=2 ,cosA=sin1380°,则a等于(  )
A.7 B.2  C.2  D.2
【考点】余弦定理;运用诱导公式化简求值.
【分析】由已知利用诱导公式,特殊角的三角函数值可求cosA的值,利用余弦定理即可解得a的值.
【解答】解:∵b=4,c=2 ,cosA=sin1380°=sin300°=﹣sin60°=﹣ ,
∴由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=16+12﹣2× ×(﹣ )=52,
∴解得:a=2 .
故选:B.
 
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则下列判断错误的是(  )
 
A.A=2 B.ω=2 C.f(0)=1 D.φ=
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】由函数的最值求出A,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出φ的值,可得函数解析式,进而可求f(0)的值,从而得解.
【解答】解:根据函数的图象可知,A=2,T= + =π,∴ω= =2,
再根据f( )=2sin(2× +φ)=0,且0<φ<π,
∴φ= ,
∴f(x)=2sin(2x+ ),
∴f(0)=2sin =2× =1,
综上,D选项错误.
故选:D.
 
10.在▱ABCD中,AB=2BC=4,∠BAD= ,E是CD的中点,则 • 等于(  )
A.2 B.﹣3 C.4 D.6
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】建立平面直角坐标系,代入各点坐标计算.
【解答】解:以AB所在直线为x轴,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(4,0),C(5, ),D(1, ).E(3, ).
∴ =(5, ), =(1,﹣ ).∴ • =5×1﹣ =2.
故选:A.
 
 
11.已知x>﹣1,y>0,且x+y=1,则 + 的最小值为(  )
A.3 B.4 C.  D.5
【考点】基本不等式.
【分析】利用“1”的代换,结合基本不等式,即可求出 + 的最小值.
【解答】解:∵x>﹣1,y>0,且x+y=1,
∴ + = ( + )(x+1+y)=  [5+ + ]≥ •(5+4)= ,
当且仅当 = ,  + 的最小值为 .
故选:C.
 
12.已知数列{an}的前n项和为Tn,a1=1且a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an=2n﹣1,则T8﹣2等于(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】数列的求和.
【分析】构造当n≥2时,a1+2a2+4a3+…+2n﹣2an﹣1=2n﹣3,与原式相减,即可求得an=( )n﹣2,当n=1时,不满足,故求得数列{an}的通项公式,求得T8﹣2的值.
【解答】解:由a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an=2n﹣1,
当n≥2时,a1+2a2+4a3+…+2n﹣2an﹣1=2n﹣3,
两式相减得:2n﹣1an=2,
∴an=( )n﹣2,
当n=1时,a1=1,不满足满足,
∴an=
∴T8=1+1+ + +…+ =2+ ,
T8﹣2= ,
故答案为:C.
 
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分.共20分.
13.已知数列{an}的前n项和为Sn=n(2n+1),则a2= 7 .
【考点】数列递推式.
【分析】Sn=n(2n+1),分别令n=1,2,解出即可得出.
【解答】解:∵Sn=n(2n+1),
分别令n=1,2,可得:a1=S1=3,a1+a2=2×(2×2+1)=10.
则a2=7.
故答案为:7.
 
14.已知向量 , 满足| |=1,| |=2 ,| ﹣ |=2,则 • =   .
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据条件对 两边平方即可得出 ,进行向量数量积的运算便可得出 ,从而便可求出 的值.
【解答】解:根据条件,
 
=
=
=4;
∴ .
故答案为: .
 
15.若2cos(θ﹣ )=3cosθ,则tan2θ= ﹣4  .
【考点】二倍角的正切;两角和与差的余弦函数.
【分析】利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系,求得tanθ的值、再利用二倍角的正切公式,求得tan2θ 的值.
【解答】解:∵2cos(θ﹣ )=3cosθ,
∴2( cosθ+ sinθ)=3cosθ,求得tanθ= ,
则tan2θ= =﹣4 ,
故答案为:﹣4 .
 
16.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a2+b2﹣c2=6 ﹣2ab,且C=60°,则△ABC的面积为   .
【考点】余弦定理.
【分析】由已知等式可得:c2=a2+b2﹣6 +2ab,结合余弦定理可解得ab的值,利用三角形面积公式即可计算得解.
【解答】解:∵a2+b2﹣c2=6 ﹣2ab,可得:c2=a2+b2﹣6 +2ab,
又∵C=60°,由余弦定理可得:c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab,
∴﹣ab=2ab﹣6 ,解得:ab=2 ,
∴S△ABC= absinC= = .
故答案为: .
 
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知向量 =(x,﹣1), =(x﹣2,3), =(1﹣2x,6).
(1)若 ⊥(2 + ),求| |;
(2)若 • <0,求x的取值范围.
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】(1)若 ⊥(2 + ),则转化为 •(2 + )=0,利用向量数量积的公式建立方程求出x即可求| |;
(2)若 • <0,转化为x的一元二次不等式进行求解即可求x的取值范围.
【解答】解:(1)若 ⊥(2 + ),则 •(2 + )=0,
即2 • + • =0,
即2x(x﹣2)﹣6+x(1﹣2x)﹣6=0,
则﹣3x﹣12=0,则x=﹣4,
则 =(﹣6,3),
| |= = = =3 ;
(2)若 • <0,则x(x﹣2)﹣3<0,
即x2﹣2x﹣3<0,得﹣1<x<3,
即x的取值范围是(﹣1,3).
 
18.等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若a3,a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项,求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
【考点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和.
【分析】(1)利用等比数列通项公式能求出首项和公差,由此能求出数列{an}的通项公式an.
(2)由等比数列通项公式求出等差数列{bn}的第4项和第16项,再由等差数列通项公式求出首项与公差,由此能求出数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
【解答】解:(1)∵等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16,
∴2q3=16,解得q=2,
∴ .
(2)∵a3,a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项,
∴ , ,
∴ ,
解得b1=2,d=2,
∴bn=2+(n﹣1)×2=2n.
Sn= =n2+n.
 
19.锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB+bcosA= csinC.
(1)求cosC;
(2)若a=6,b=8,求边c的长.
【考点】正弦定理.
【分析】(1)利用正弦定理和两角和的正弦公式化简已知的等式,由锐角的范围和平方关系求出cosC;
(2)根据条件和余弦定理求出边c的长.
【解答】解:(1)∵acosB+bcosA= csinC,
∴由正弦定理得sinAcosB+cosAsinB= sinCsinC,
则sin(A+B)= sinCsinC,
由sin(A+B)=sinC>0得,sinC= ,
∵C是锐角,∴cosC= = ;
(2)∵a=6,b=8,cosC= ,
∴由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC
=36+64﹣2×6× =36,
解得c=6.
 
20.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=9,a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足bn=(an﹣1)2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.
【分析】(1)根据条件可知a32=a1a7,即(a1+2d)2=a1(a1+6d),d和a1的关系,S3=3a2,即可求得a1和d,数列{an}的通项公式;
(2)求得数列{bn}的通项公式,采用乘以公比“错位相减法”,即可求得数列{bn}的前n项和Tn.
【解答】解:(1)等差数列{an}公差为d,首项为a1,
∵a1,a3,a7成等比数列.
∴a32=a1a7,
即(a1+2d)2=a1(a1+6d),
化简得d= a1,或d=0(舍去).
当d= a1,
由等差数列S3=3a2,
∴a2=3,得a1=2,d=1.
∴an=a1+(n﹣1)d=2+(n﹣1)=n+1,即an=n+1,
数列{an}的通项公式an=n+1;
(2)由(1)可知:an=n+1,
bn=(an﹣1)2n=(n+1﹣1)2n=n•2n,
∴bn=n•2n,
数列{bn}的前n项和Tn,Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n,
2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1,
两式相减:得﹣Tn=2+22+22+…+2n﹣n×2n+1,
=2n+1﹣2﹣n×2n+1,
∴Tn=(n﹣1)2n+1+2.
数列{bn}的前n项和Tn,Tn=(n﹣1)2n+1+2.
 
21.已知向量 =( sinx,﹣1), =(cosx,m),m∈R.
(1)若m= ,且 ∥ ,求 的值;
(2)已知函数f(x)=2( + )• ﹣2m2﹣1,若函数f(x)在[0, ]上有零点,求m的取值范围.
【考点】平面向量数量积的运算;同角三角函数基本关系的运用.
【分析】(1)可得出向量 的坐标,根据 及平行向量的坐标关系即可得出cosx=3sinx,从而便可得出 的值;
(2)可先求出 的坐标,然后进行向量坐标的数量积运算,并由二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式即可得到 ,从而得出 ,而可以求出sin(2x+ )在 的范围,从而可得出m的取值范围.
【解答】解:(1) 时, ;
又 ;
∴3sinx+cosx=0;
∴cosx=﹣3sinx;

(2) ﹣2m2﹣1
= 2m2﹣1
=
根据题意,方程 有解;
即m= 有解;
∵ ;

∴ ;
∴m的取值范围为 .
 
22.如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(  a﹣sinC)cosB=sinBcosC,b=4 .
(1)求角B的大小;
(2)D为BC边上一点,若AD=2,S△DAC=2 ,求DC的长.
 
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】(1)由( a﹣sinC)cosB=sinBcosC,利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得 acosB=sinA,再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式即可得出.
(2)利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出.
【解答】解:(1)∵( a﹣sinC)cosB=sinBcosC,
∴ acosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,
在△ABC中,由正弦定理可得:  = ,
∴ =1,
∴tanB= = ,B∈(0,π),
∴B= .
(2)∵S△DAC=2 = sin∠DAC,
∴sin∠DAC= ,
∵0<∠DAC< ,
∴∠DAC= .
在△DAC中,DC2= ﹣2× cos =28.
∴DC=2 .
 
2016年8月10日


 

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