2017年揭阳市高一数学理下期末联考试题(附答案)

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2017年揭阳市高一数学理下期末联考试题(附答案)

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文 章来源 莲
山 课 件 w w w.
5Y k J. c oM

2016-2017学年度高一级第二学期期末联考
理数试题
满分:150分   考试时间:120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知两直线m、n和平面α,若m⊥α,n∥α,则直线m、n的关系一定成立的是
(A)m与n是异面直线             (B)m⊥n     
(C)m与n是相交直线             (D)m∥n 
(2) 已知数据x1,x2,x3,…,xn是普通职工n(n≥3,n∈N*)个人的年收入,设这n个数据的中位数为x,平均数为y,方差为z,如果再加上世界首富的年收入xn+1,则这n+1个数据中,下列说法正确的是
(A)年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变
(B)年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大
(C)年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变
(D)年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变
(3) 若直线l1:mx﹣3y﹣2=0与直线l2:(2﹣m)x﹣3y+5=0互相平行,则实数m的值为
(A) 2                        (B)﹣1       
(C)1                         (D)0
(4) 利用计算机在区间( ,2)内产生随机数a,则不等式ln(3a﹣1)<0成立的概率是
(A)             (B)          (C)                  (D) 
(5) 函数y=2cos2(x+ )-1是
(A)最小正周期为π的奇函数    
(B)最小正周期为 的奇函数
(C)最小正周期为 的偶函数    
(D)最小正周期为π的偶函数
 

(6) 已知程序框图如图所示,如果上述程序运行的结果为S=132,那么
判断框中应填入
(A)k<11?       (B)k<12? 
(C)k<13?       (D)k<14?  

(7) 已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)的对应表:
x 1 2 3 4 5 6
f(x) -8 2 ﹣3 5 6 8
则函数f(x)存在零点的区间有
(A)区间[2,3]和[3,4]                     (B)区间[3,4]、[4,5]和[5,6]
(C)区间[2,3]、[3,4]和[4,5]            (D)区间[1,2]、[2,3]和[3,4]
(8) 函数 的单调递减区间是
(A)(1,+∞)                       (B)(﹣1,1]  
(C)[1,3)                          (D)(﹣∞,1)
(9) 若函数f(x)=3ax﹣k+1(a>0,且a≠1)过定点(2,4),且f(x)在定义域R内是增函数,则函数
g(x)=loga(x-k)的图象是
             
          (A)                 (B)                (C)                  (D)
(10) 如果圆x2+y2+2m(x+y)+2 m2-8=0上总存在到点(0,0)的距离为 的点,则实数m的取值范围是
(A)[﹣1,1]                                 (B)(﹣3,3) 
(C)(﹣3,﹣1)∪(1,3)                     (D)[﹣3,﹣1]∪[1,3]
(11) 同时具有性质:①图象的一个零点和其相邻对称轴间的距离是 ;②在区间[﹣ , ]上是增函数
的一个函数为
(A)y=cos( + )                  (B)y=sin( + ) 
(C)y=sin(2x﹣ )              (D)y=cos(2x﹣ )
(12) 定义在区间(1,+∞)内的函数f(x)满足下列两个条件:
①对任意的x∈(1,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;
②当x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x.
已知函数y=f(x)的图象与直线mx-y-m=0恰有两个交点,则实数m的取值范围是
(A)[1,2)                        (B)(1,2]      
(C)                         (D)  

第Ⅱ卷
二、填空题:本题共4小题,每小题5分。
(13) 设某总体是由编号为01,02,…,39,40的40个个体组成的,利用下面的随机数表依次选取4个个体,选取方法是从随机数表第一行的第三列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出来的第4个个体的编号为        .
0618  0765  4544  1816  5809  7983  8619
7606  8350  0310  5923  4605  0526  6238
(14) 设m∈R,向量 =(m+1,3), =(2,﹣m),且 ⊥ ,则| + |=     .
(15) 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是       .
                       
(16) 已知 ,则 =    .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分10分)
如图,在△ABC中,已知点D,E分别在边AB,BC上,且AB=3AD,BC=2BE.
                           
(Ⅰ)用向量 , 表示 ;
(Ⅱ)设AB=6,AC=4,A=60°,求线段DE的长.

(18)(本小题满分12分)
某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生都参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:
频率分布表 
组别 分组 频数 频率
第1组 [50,60) 8 0.16
第2组 [60,70) a ▓
第3组 [70,80) 20 0.40
第4组 [80,90) ▓ 0.08
第5组 [90,100] 2 b
合计  ▓ ▓
 
(Ⅰ)写出a,b,x,y的值;
(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.
(i)求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率;
(ii)求所抽取的2名同学来自同一组的概率.

(19)(本小题满分12分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,点P是单位圆上的动点,过点P作x轴的垂线与射线y= x(x≥0)交于点Q,与x轴交于点M.记∠MOP=α,且α∈(﹣ , ).
(Ⅰ)若sinα= ,求cos∠POQ;
(Ⅱ)求△OPQ面积的最大值.


(20)(本小题满分12分)
如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB= ,AF=1,M是线段EF的中点.
(Ⅰ)求证:AM∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角A﹣DF﹣B的大小.
 

(21)(本小题满分12分)
 已知圆C经过点A(1,3),B(2,2),并且直线m:3x﹣2y=0平分圆C.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)若过点D(0,1),且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N.
(i)求实数k的取值范围;
(ii)若 • =12,求k的值.
 
(22)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=( )x.
(Ⅰ)当x∈[﹣1,1]时,求函数y=[f(x)]2﹣2af(x)+3的最小值g(a);
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,是否存在实数m>n>3,使得g(x)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2]?若存在,求出m、n的值;若不存在,请说明理由.
 
 
高一理数参考答案及解析
一、选择题
(1)B (2)B (3)C (4)D (5)A  (6)A (7)D (8)C (9)A (10)D (11)C (12)C
二、填空
(13)09  (14)   (15)   (16)
三、解答题
(17)解:(Ⅰ)△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,且AB=3AD,BC=2BE,

∴ .                (5分)
(Ⅱ)若AB=6,AC=4,A=60°,

= ×62+ ×6×4×cos60°+ ×42=7,
∴ ,
即线段DE的长为 .                                            (10分)
(18)解:(Ⅰ)由题意可知,a=16,b=0.04,x=0.032,y=0.004.              (4分)
(Ⅱ)由题意可知,第4组共有4人,记为A,B,C,D,第5组共有2人,记为X,Y.
从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学,则有AB,AC,AD,BC,BD,CD,AX,AY,BX,BY,CX,CY,DX,DY,XY,共15种情况.         (6分)
(ⅰ)设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E,
则事件E包含AX,AY,BX,BY,CX,CY,DX,DY,XY,共9种情况.所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P(E)= .(9分)
(ⅱ)设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F,则事件F包含AB,AC,AD,BC,BD,CD,XY,共7种情况.
所以P(F)= .                                                   (12分)

(19)解:(Ⅰ)因为 ,且 所以 .
所以 .    (5分)
(Ⅱ)由三角函数定义,得P(cosα,sinα),从而 ,
所以 
 
 .
因为 所以当 时,取等号,
所以△OPQ面积的最大值为 .                                 (12分)
(20)解:(Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,如图,
 

∵O、M分别是AC、EF的中点,ACEF是矩形,
∴四边形AOEM是平行四边形.∴AM∥OE.
∵OE 平面BDE,AM 平面BDE,
∴AM∥平面BDE.                                                    (4分)
(Ⅱ)在平面AFD中,过A作AS⊥DF于S,连接BS,如图,

 

∵AB⊥AF,AB⊥AD,AD∩AF=A,
∴AB⊥平面ADF,
∴AS是BS在平面ADF上的射影,
由三垂线定理得BS⊥DF,
∴ 是二面角A-DF-B的平面角.
在Rt△ASB中,
∴tan = , =60°,
∴二面角A-DF-B的大小为60°.       (12分)
(21)解:(Ⅰ)设圆C的标准方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2.
∵圆C被直线m:3x﹣2y=0平分,
∴圆心C(a,b)在直线m上,可得3a﹣2b=0.  ①
又∵点A(1,3),B(2,2)在圆C上,
∴   ②
将①②联立,解得a=2,b=3,r=1.
∴圆C的方程是(x﹣2)2+(y﹣3)2=1.                                (4分)
(Ⅱ)(i) 过点D(0,1)且斜率为k的直线l的方程为y=kx+1,即kx﹣y+1=0.
∵直线l与圆C有两个不同的交点M、N,
∴点C(2,3)到直线l的距离小于半径r,
即 ,解得 .
∴实数k的取值范围是 .                               (8分)
(ii)由 消去y,得(1+k2)x2﹣(4+4k)x+7=0.
设M(x1,y1)、N(x2,y2),可得x1+x2= ,x1x2= ,
∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1= + +1,
∴ =x1x2+y1y2= + + +1=12,解得k=1.
此时k∈ ,成立,∴k=1.                               (12分)
(22)解:(Ⅰ)∵x∈[﹣1,1],∴f(x)=( )x∈[ ,3],               (1分)
y=[f(x)]2﹣2af(x)+3=[( )x]2﹣2a( )x+3
=[( )x﹣a]2+3﹣a2. .                                             (3分)
由一元二次函数的性质分三种情况:
若a< ,则当 时,ymin=g(a)= ;              (5分)
若 ≤a≤3,则当 时,ymin=g(a)=3﹣a2;         (6分)
若a>3,则当 时,ymin=g(a)=12﹣6a.                 (7分)
∴g(a)=                                           (8分)
(Ⅱ)假设存在满足题意的m、n,
∵m>n>3,且g(x)=12﹣6x在区间(3,+∞)内是减函数,             (9分)
又g(x)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],
∴                                                     (10分)
两式相减,得6(m﹣n)=(m+n)(m﹣n),
∵m>n>3,∴m+n=6,但这与“m>n>3”矛盾,                         (11分)
∴满足题意的m、n不存在.                                            (12分)
 

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