1.3函数的基本性质成长训练题(附答案和解释)

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1.3函数的基本性质成长训练题(附答案和解释)

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来源莲山
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夯基达标
1.函数y=x2-4|x|-1的递增区间为     .
思路解析:图象法,y=
答案:[-2,0]和[2,+∞)
2.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且定义域为[a-1,2a],则a=    ,b=     .
思路解析:定义域关于原点对称,故a-1=-2a,a= .
又对于f(x)有f(-x)=f(x)恒成立,∴b=0.
答案:  0
3.若f(x)= +a(x∈R且x≠0)为奇函数,则a=     .
思路解析:特值法:∵f(-1)=-f(1), +a=-[ +a] a= .
答案:
4. 若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是减函数,则实数a的取值范围是(  )
A. a≤-3
B. a≥-3
C. a≤5
D. a≥3
思路分析:因为函数f(x)=x2+2(a-1)x+2有两个单调区间,它在(-∞,-(a-1)]上是减函数,又因为f(x)在区间(-∞,4)上是减函数,因此必有4≤-(a-1),解得a≤-3.
答案:A
5. 下列函数在区间(-∞,0)上为增函数的是(  )
A. y=|x|
B. y=x2
C. y=
D. y=1-x2
思路解析:此题是判断哪个函数在给定区间上是单调递增的,解决此类问题方法较多,但最快捷最准确的还是图象法,画出每个函数的草图,一眼便能判定哪个函数在给定区间是增函数.
如图所示,显然函数y=1-x2在给定区间(-∞,0)上为增函数.因此,选D.
 
答案:D
6. 下列函数在区间(2,+∞)上为减函数的是(  )
A. y=2x-7
B. y=-
C. y=-x2+4x+1
D. y=x2-4x-3
思路解析:由初等函数的单调性可知:y=2x-7在R上是增函数,y=- 在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数,y=x2-4x-3在(2,+∞)上是增函数,y=-x2+4x+1在(2,+∞)上是增函数.故选C.
答案:C
7. 若f(x)=(k-2)x2+(k-3)x+3是偶函数,则f(x)的递减区间是     .
思路解析:由偶函数的定义可知k=3, 即f(x)=x2+3,其图象开口向上,故f(x)的递减区间是(-∞,0].
答案:(-∞,0]
8. 函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在[2,3]上的最大值为5,最小值为2,求a与b.
思路解析:因为f(x)=ax2-2ax+2+b的对称轴为x=1 [2,3],若a>0,则f(x)在[2,3]上递增,所以最大值为f(3),最小值为f(2),即 解得 .适合题意.若a<0,则f(x)在[2,3]上递减,所以最大值为f(2),最小值为f(3),即 解得 .也适合题意.
答案: 或 .
走近高考
9.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是(  )
A. (-∞, 2)
B. (2, +∞)
C. (-∞,-2) ∪ (2, +∞)
D. (-2, 2)
思路解析:此题考查函数单调性和奇偶性的综合应用,由f(2)=0和偶函数知f(-2)=0,由函数f(x)在(-∞,0]上是减函数知(-2,0)时f(x)<0,由图象关于y轴对称知(0,2)时f(x)<0,所以选D.
答案:D
10.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x,
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;
(3)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
思路解析:此题考查综合应用函数的奇偶性和增减性解决解析式和最值问题.
解:(1)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),
则 即
∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上,
∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x.
故g(x)=-x2+2x.
(2)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得2x2-|x-1|≤0.
当x≥1时,2x2-x+1≤0.
此时不等式无解.
当x<1时,2x2-x+1≤0.
∴-1≤x≤ .
因此,原不等式的解集为[-1,  ].
(3)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1.
①当λ=-1时,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1.
②当λ≠-1时,对称轴的方程为x= .
(ⅰ)当λ<-1时, ≤-1,解得λ<-1.
(ⅱ)当λ>-1时, ≥1时,解得-1<λ≤0.
综上,λ≤0.
11. 下面四个结论:①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).其中正确命题的个数是(  )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
思路解析:①和③根据偶函数的性质进行判断;②根据奇函数的性质进行判断;④根据奇函数与偶函数的性质联合进行判断,还要注意定义域的判断是否正确.
偶函数的图象关于y轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误.
奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确.
若y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得f(x)=0,但不一定x∈R,故④错误,选A.
答案:A
12. 已知f(x)=ax 7-bx+2且f(-5)=17,则f(5)=     .
思路解析:整体思想:f(-5)=a(-5) 7-b(-5)+2=17 (a•5 7-5b)=-15,
∴f(5)=a•5 7-b•5+2=-15+2=-13.
答案:-13
13. (2006黄冈模拟,6)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数x,都有f(x+1)=f(-x),那么(  )
A. f(-2) < f(0) <f(2)
B. f(0) < f(-2) <f(2)
C. f(0) < f(2) <f(-2)
D. f(2) < f(0) <f(-2)
思路解析:f(1+x)=f(-x),以x- 代替x得到f( +x)=f( -x).
所以y=f(x)的图象是以x= 为对称轴的,构造函数f(x)=(x- )2,则f(-2)= ,f(0)= ,f(2)= ,即f(0)<f(2)<f(-2).
答案:C 文章
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