《圆与方程》质量检测试卷4(有答案和解释)

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《圆与方程》质量检测试卷4(有答案和解释)

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章 来源莲山课件 ww w.
5 Y k j.CoM 阶段质量检测(四)  圆与方程
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线x+y-1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长等于(  )
A.2           B.2
C.22  D.4
解析:选B 由题意,得圆心为(-1,0),半径r=3,弦心距d=|-1+0-1|12+12=2,所以所求的弦长为2r2-d2=2,选B.
2.若点P(1,1)为圆x2+y2-6x=0的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为(  )
A.2x+y-3=0  B.x-2y+1=0
C.x+2y-3=0  D.2x-y-1=0
解析:选D 由题意,知圆的标准方程为(x-3)2+y2=9,圆心为A(3,0).因为点P(1,1)为弦MN的中点,所以AP⊥MN.又AP的斜率k=1-01-3=-12,所以直线MN的斜率为2,所以弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
3.半径长为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为(  )
A.(x-4)2+(y-6)2=6  B.(x±4)2+(y-6)2=6
C.(x-4)2+(y-6)2=36  D.(x±4)2+(y-6)2=36
解析:选D ∵半径长为6的圆与x轴相切,设圆心坐标为(a,b),则b=6.再由a2+32=5,可以解得a=±4,故所求圆的方程为(x±4)2+(y-6)2=36.
4.经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线,则切线方程为(  )
A.2x+y-5=0  B.2x+y+5=0
C.2x+y-5=0  D.2x+y+5=0
解析:选C ∵M(2,1)在圆上,∴切线与MO垂直.
∵kMO=12,∴切线斜率为-2.又过点M(2,1),
∴y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.
5.把圆x2+y2+2x-4y-a2-2=0的半径减小一个单位则正好与直线3x-4y-4=0相切,则实数a的值为(  )
A.-3  B.3
C.-3或3  D.以上都不对
解析:选C 圆的方程可变为(x+1)2+(y-2)2=a2+7,圆心为(-1,2),半径为a2+7,由题意得|-1×3-4×2-4|-32+42=a2+7-1,解得a=±3.
6.如图,一座圆弧形拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2米,水面宽12米,当水面下降1米后,水面宽度为(  )
A.14米  B.15米
C.51米  D.251米
解析:选D 
 
如图,以圆弧形拱桥的顶点为原点,以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴,以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系.
设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,
则由已知可得A(6,-2),
设圆的半径长为r,则C(0,-r),
即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.
将点A的坐标代入上述方程可得r=10,
所以圆的方程为x2+(y+10)2=100,
当水面下降1米后,水面弦的端点为A′,B′,
可设A′(x0,-3)(x0>0),代入x2+(y+10)2=100,解得x0=51,
∴水面宽度|A′B′|=251米.
7.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(  )
A.2x+y-3=0  B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0  D.4x+y-3=0
解析:选A 设点P(3,1),圆心C(1,0).已知切点分别为A,B,则P,A,C,B四点共圆,且PC为圆的直径.故四边形PACB的外接圆圆心坐标为2,12,半径长为123-12+1-02=52.故此圆的方程为(x-2)2+y-122=54.①
圆C的方程为(x-1)2+y2=1.②
①-②得2x+y-3=0,此即为直线AB的方程.
8.已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2=-2y+3,直线l经过点(1,0)且与直线x-y+1=0垂直,若直线l与圆C交于A,B两点,则△OAB的面积为(  )
A.1  B.2
C.2  D.22
解析:选A 由题意,得圆C的标准方程为x2+(y+1)2=4,圆心为(0,-1),半径r=2.因为直线l经过点(1,0)且与直线x-y+1=0垂直,所以直线l的斜率为-1,方程为y-0=-(x-1),即为x+y-1=0.又圆心(0,-1)到直线l的距离d=|0-1-1|2=2,所以弦长|AB|=2r2-d2=24-2=22.又坐标原点O到弦AB的距离为|0+0-1|2=12,所以△OAB的面积为12×22×12=1.故选A.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.请把正确答案填在题中的横线上)
9.圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为________________.
解析:由题意知圆心坐标为(2,-3),半径r=2-02+-3+22=5,∴圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.
答案:(x-2)2+(y+3)2=5
10.已知空间直角坐标系中三点A,B,M,点A与点B关于点M对称,且已知A点的坐标为(3,2,1),M点的坐标为(4,3,1),则B点的坐标为______________.
解析:设B点的坐标为(x,y,z),则有x+32=4,y+22=3,z+12=1,解得x=5,y=4,z=1,
故B点的坐标为(5,4,1).
答案:(5,4,1)
11.圆O:x2+y2-2x-2y+1=0上的动点Q到直线l:3x+4y+8=0的距离的最大值是________.
解析:∵圆O的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心(1,1)到直线l的距离为|3×1+4×1+8|32+42=3>1,∴动点Q到直线l的距离的最大值为3+1=4.
答案:4
12.已知过点(1,1)的直线l与圆C:x2+y2-4y+2=0相切,则圆C的半径为________,直线l的方程为________.
解析:圆C的标准方程为x2+(y-2)2=2,
则圆C的半径为2,圆心坐标为(0,2).
点(1,1)在圆C上,则直线l的斜率k=-12-10-1=1,
则直线l的方程为y=x,即x-y=0.
答案:2 x-y=0
13.已知圆C:(x-1)2+y2=25与直线l:mx+y+m+2=0,若圆C关于直线l对称,则m=________;当m=________时,圆C被直线l截得的弦长最短.
解析:当圆C关于l对称时,圆心(1,0)在直线mx+y+m+2=0上,得m=-1.直线l:m(x+1)+y+2=0恒过圆C内的点M(-1,-2),当圆心到直线l的距离最大,即MC⊥l时,圆C被直线l截得的弦长最短,kMC=-2-0-1-1=1,由(-m)×1=-1,得m=1.
答案:-1 1
14.已知点M(2,1)及圆x2+y2=4,则过M点的圆的切线方程为________,若直线ax-y+4=0与该圆相交于A,B两点,且|AB|=23,则a=________.
解析:若过M点的圆的切线斜率不存在,则切线方程为x=2,经验证满足条件.若切线斜率存在,可设切线方程为y=k(x-2)+1,由圆心到切线的距离等于半径得|-2k+1|k2+1=2,解得k=-34,故切线方程为y=-34(x-2)+1,即3x+4y-10=0.
综上,过M点的圆的切线方程为x=2或3x+4y-10=0.
由4a2+1=4-32得a=±15.
答案:x=2或3x+4y-10=0 ±15
15.已知两圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0,则两圆圆心的最短距离为________,此时两圆的位置关系是________.(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)
解析:将圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0化为标准方程得(x-a)2+(y+2)2=9,圆心为C1(a,-2),半径为r1=3,将圆C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0化为标准方程得(x+1)2+(y-a)2=4,圆心为C2(-1,a),半径为r2=2.两圆的圆心距d=a+12+-2-a2=2a2+6a+5=2a+322+12,所以当a=-32时,dmin=22,此时22<|3-2|,所以两圆内含.
答案:22 内含
三、解答题(本大题共5小题,共74分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分14分)已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为4,侧棱长为3,G是PD的中点,求|BG|.
 
解:∵正四棱锥P­ABCD的底面边长为4,侧棱长为3,
∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点,平行于AB,BC所在的直线分别为y轴、x轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则正四棱锥的顶点B,D,P的坐标分别为B(2,2,0),D(-2,-2,0),P(0,0,1).
∴G点的坐标为G-1,-1,12
∴|BG|= 32+32+14=732.
17.(本小题满分15分)已知从圆外一点P(4,6)作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B.
(1)求以OP为直径的圆的方程;
(2)求直线AB的方程.
解:(1)∵所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3),
半径为12|OP|= 12 4-02+6-02=13,
∴以OP为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.
(2)∵PA,PB是圆O:x2+y2=1的两条切线,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴A,B两点都在以OP为直径的圆上.
由x2+y2=1,x-22+y-32=13,得直线AB的方程为4x+6y-1=0.
18.(本小题满分15分)已知圆过点A(1,-2),B(-1,4).
(1)求周长最小的圆的方程;
(2)求圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.
解:(1)当线段AB为圆的直径时,过点A,B的圆的半径最小,从而周长最小,
即以线段AB的中点(0,1)为圆心,r=12|AB|=10为半径.
则所求圆的方程为x2+(y-1)2=10.
(2)法一:直线AB的斜率k=4--2-1-1=-3,
则线段AB的垂直平分线的方程是y-1=13x,
即x-3y+3=0.
由x-3y+3=0,2x-y-4=0,解得x=3,y=2,
即圆心的坐标是C(3,2).
∴r2=|AC|2=(3-1)2+(2+2)2=20.
∴所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=R2.
则1-a2+-2-b2=R2,-1-a2+4-b2=R2,2a-b-4=0⇒a=3,b=2,R2=20.
∴所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20.
19.(本小题满分15分)已知圆x2+y2-4ax+2ay+20a-20=0.
(1)求证:对任意实数a,该圆恒过一定点;
(2)若该圆与圆x2+y2=4相切,求a的值.
解:(1)证明:圆的方程可整理为(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0,
此方程表示过圆x2+y2-20=0和直线-4x+2y+20=0交点的圆系.
由x2+y2-20=0,-4x+2y+20=0得x=4,y=-2.
∴已知圆恒过定点(4,-2).
(2)圆的方程可化为(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2.
①当两圆外切时,d=r1+r2,
即2+5a-22=5a2,
解得a=1+55或a=1-55(舍去);
②当两圆内切时,d=|r1-r2|,
即|5a-22-2|=5a2,
解得a=1-55或a=1+55(舍去).
综上所述,a=1±55.
20.(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,以O为圆心的圆与直线x-3y-4=0相切.
(1)求圆O的方程.
(2)直线l:y=kx+3与圆O交于A,B两点,在圆O上是否存在一点M,使得四边形OAMB为菱形?若存在,求出此时直线l的斜率;若不存在,说明理由.
解:(1)设圆O的半径长为r,因为直线x-3y-4=0与圆O相切,所以r=|0-3×0-4|1+3=2,所以圆O的方程为x2+y2=4.
(2)法一:因为直线l:y=kx+3与圆O相交于A,B两点,
所以圆心(0,0)到直线l的距离d=|3|1+k2<2,
解得k>52或k<-52.
假设存在点M,使得四边形OAMB为菱形,则OM与AB互相垂直且平分,
所以原点O到直线l:y=kx+3的距离d=12|OM|=1.
所以|3|1+k2=1,解得k2=8,
即k=±22,经验证满足条件.
所以存在点M,使得四边形OAMB为菱形.
法二:设直线OM与AB交于点C(x0,y0).
因为直线l斜率为k,显然k≠0,所以直线OM方程为y=-1kx,
由y=kx0+3,y=-1kx0,解得x0=-3kk2+1,y0=3k2+1.
所以点M的坐标为-6kk2+1,6k2+1.
因为点M在圆上,所以-6kk2+12+6k2+12=4,解得k=±22,经验证均满足条件.
所以存在点M,使得四边形OAMB为菱形. 文
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